Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung

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12.03.2008, 23:34	Klaudia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung Hallo, könnte mir bitte jemand den Anfang der Aufgabe korrigieren und dann weiter angeben, wie die richtige Lösung lautet? Gegeben sind die Geraden g und h durch $\begin{eqnarray} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie der Punkt P(-3/5/3) a) Der Punkt P und die Gerade g legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Wie groß ist der Winkel, unter dem die Gerade h die Ebene E schneidet? E: 2x1+x2+2x3 =5 \alpha = 45° Bei den weiteren Aufgaben weiß ich überhaupt nicht weiter: Die Gerade h wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden. b) Zeigen Sie, dass g und h windschief sind. Bestimmen Sie den Abstand von g und h. Geben Sie die Koordinaten der Punkte Fg auf g und Fh auf h an, die diesen Abstand voneinander haben. c) Die Punkte O(0/0/0), A(4/4/0) und B(0/2/2) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt Q(1/2/1) in diesem Dreieck liegt. DANKE!!!
13.03.2008, 00:55	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung zur spiegelung: 1) bestimme den schnittpunkt von h und E 2) spiegle den aufpunkt A von h an E 3) verbinde die beiden punkte. zu windschiefen geraden: benutze die suchfunktion, das gibt es hier ca. 100000 mal zum dreieck: 1) bestimme $\begin{eqnarray} \lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OQ} \end{eqnarray}$ 2)untersuche ob gilt: $\begin{eqnarray} 0\leq \lambda , \mu\leq 1 \end{eqnarray}$ UND $\begin{eqnarray} 0\leq \lambda+\mu\leq 1 \end{eqnarray}$ wenn ja, legt Q im 3eck.
13.03.2008, 01:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) richtig Zu den anderen: Welcher Punkt von h bleibt bei der Spiegelung an E invariant? Einen beliebigen zweiten Punkt von h kannst du dann auch noch spiegeln, die beiden verbunden, ergeben ... ? Für die Ermittlung des Abstandes und der Endpunkte des Gemeinlotes bei windschiefen Geraden gibt es verschiedene Methoden, welche hier im Board schon sehr oft erörtert wurden. Hast du schon danach gesucht? Bei c) solltest du einmal eine eigene Idee dazu haben, versuche es mal, es ist nicht schwer. mY+ P.S.: Bei deinen anderen Themen vermisse ich (wieder mal) dein Feedback nach erhaltener Hilfe
13.03.2008, 20:25	Klaudia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung Vielen Dank! Stimmt es nun: a) Schnittpunkt von h und E 2(-2+t)+2-t+2(-1+4t)=5 t=1 S(-1/1/3) A(-2/2/-1) $\begin{eqnarray} \vec{SA}= \vec{A'S} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1-x_1 \\ 1-x_2 \\ 3-x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A'(0/0/7) $\begin{eqnarray} b: \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist doch die gleiche Gerade, nur mit einem anderen Stützvektor, oder?? b) $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> \vec{u} \ und \ \vec{v} \ sind \ linear \ unabhaengig \end{eqnarray}$ -2s=-2+t 3+2s=2-t-->t=-2s-1 1+s=-1+4t-->s=4t-2 -2s=-2-2s-1 $\begin{eqnarray} 0\neq -3 \end{eqnarray}$ Damit sind g und h zueinander windschief. Das weiß ich allerdings nicht: Geben Sie die Koordinaten der Punkte Fg auf g und Fh auf h an, die diesen Abstand voneinander haben. c) $\begin{eqnarray} x\vec{OA} +y\vec{OB} =\vec{OQ} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ x=1/4 y=1/2 x>0; y=0,5<1 und 0<x+y<1 Der Punkt Q liegt im Dreieck. (Die Bedingungen zur Untersuchung, ob Q im 3eck liegt, verstehe ich noch nicht. Wie kommt man da drauf?)
13.03.2008, 20:56	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung zum dreieck, drinnen und draußen
13.03.2008, 21:07	Klaudia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung Vielen vielen Dank für dieses tolle Bild! Jetzt hab's ich verstanden! Stimmen meine anderen Aufgaben? Ich bräuchte noch dabei Hilfe: zu b) Geben Sie die Koordinaten der Punkte Fg auf g und Fh auf h an, die diesen Abstand voneinander haben.
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13.03.2008, 21:39	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung zum nachrechnen bin ich heute schon zu müde. ein weg, die punkte $\begin{eqnarray} F_g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_h \end{eqnarray}$ zu bestimmen ist folgender: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ du gehst also auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ bis zum (noch unbekannten) punkt $\begin{eqnarray} F_g \end{eqnarray}$ und von dort senkrecht auf beide geraden (erzwungen durch das kreuzprodukt) weiter bis du $\begin{eqnarray} F_h \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ triffst. die lösung des LGS liefert dir $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} F_g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} F_h \end{eqnarray}$
13.03.2008, 22:37	Klaudia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung Habe ich das richtig verstanden? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+t* \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ r=-1,5 s=0 t=0,5 Punkt Fg auf g: Fg(0/3/1) Punkt Fh auf h: Fh((-1,5/1,5/1)
13.03.2008, 22:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene; Bildgerade; Abstandsberechnung $\begin{eqnarray} d=\|\overrightarrow{F_gF}_h\| \end{eqnarray}$

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