Integral Dirac Impuls

13.03.2008, 10:05

hansmoleman

Integral Dirac Impuls

Hallo und einen guten Tag,

Das Integral des Dirac Impulses zwischen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist ja 1.

Das Intergral des Dirac Impulses zwischen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist gleich dem Einheitssprung für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ .

Wie ist jetzt das Integral des Dirac Impulses zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

also...

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}~d(x)~dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ = ?

Ist es nicht definiert, oder ist es evtl. da der Dirac ja Achsensymmetrisch ist 0,5 ?

Danke für eure Hilfe

mfg hansm.

13.03.2008, 11:05

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Kommt drauf an, ob die Null im Integrationsbereich drin ist oder nicht:

$\begin{eqnarray*} \int_{[0,t]} ~ d(x) ~ \dd x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,t]} ~ d(x) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$

Die ungenaue Schreibweise $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} ~ d(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ist hier einfach untauglich!

P.S.: Ein Riemann-Integral der Dirac-Funktion existiert strenggenommen sowieso nicht, eigentlich ja die Dirac-Funktion selbst nicht. Aber man kann diesen Mist den Physikern so schlecht abgewöhnen... Augenzwinkern

13.03.2008, 12:23

Mazze

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Diesbezüglich gibt es einen netten Kommentar auf Wikipedia.

Zitat:

Insbesondere Physiker verwenden gerne die folgende praktische Definition, die allerdings mathematisch nicht ganz sauber ist, da ein einzelner Punkt das Maß null hat und damit beide Bedingungen nicht unter einen Hut zu bringen sind:

$\begin{eqnarray*} \delta (x)=\begin{cases} 0 & x\ne 0\\\infty & x=0\end{cases} und \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, \mathrm dx = 1 \end{eqnarray*}$ .

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