Zahlentheorie, Teilbarkeit

13.03.2008, 11:40	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie, Teilbarkeit Welche Zahlen der Form $\begin{eqnarray} 2^n -1 \end{eqnarray}$ sind durch 3 teilbar? $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ (Beweisen Sie Ihre Antwort!) Ich hab mal ein wenig nachgedacht und herausbekommen, dass das fuer alle Zahlen n=2k gilt. Aber ich kann es nicht beweisen, kann mir jemand nen Tipp geben?
13.03.2008, 11:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib doch einfach mal die Reste von $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ bei Division durch 3 auf für die ersten $\begin{eqnarray} n=0,1,2,3,\ldots \end{eqnarray}$ - so weit, bis du eben eine Gesetzmäßigkeit siehst. Und diese Gesetzmäßigkeit lässt sich dann auch sehr einfach nachweisen.
13.03.2008, 11:46	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2^n=2^{2k}=(2^2)^k=4^k \end{eqnarray}$ Klingelt es jetzt ?
13.03.2008, 11:58	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 4^k\ mod\ 3 = 1 \end{eqnarray}$ davon 1 abgezogen ergibt 0 und $\begin{eqnarray} 0\ mod\ 3 = 0 \end{eqnarray}$ Und warum gilt $\begin{eqnarray} 4^k\ mod\ 3 = 1 \end{eqnarray}$ ? Das muesste ich auch noch zeigen.
13.03.2008, 12:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 4 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray}$
13.03.2008, 12:09	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 4 \equiv 1\ (mod\ 3) \Rightarrow 4^k \equiv 1\ (mod\ 3) \end{eqnarray}$ Mag sein, aber wie lautet Beweis oder die Definiton dafuer?
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13.03.2008, 12:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, das ist die Frage: Wie weit vorn willst du anfangen bei den Modulo-Rechenregeln? Wenn's dich stört, dann eben ohne Modulo: $\begin{eqnarray} 2^n-1 = 3\cdot 2^{n-2} + (2^{n-2}-1) \end{eqnarray}$
13.03.2008, 12:15	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das Modulo stoert mich nicht. Ich moechte eben nur alles verstehen! Und unser Prof verlangt die Beweise fuer alles! Wir duerfen nicht einfach irgendwas anwenden, was nicht zuvor gezeigt wurde.
13.03.2008, 13:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht's hier um die Beweise der grundlegenden Rechenregeln der Modulorechnung oder um eine Anwendungsaufgabe? Wenn ich diese Rechenregeln nicht anwenden darf, ohne sie erst jedesmal beweisen zu müssen, dann lasse ich es doch lieber ganz und löse die Aufgabe "konventionell" - das geht schneller.
13.03.2008, 13:57	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
Super das wollte ich doch nur wissen Danke.

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