Fachgebiet! Vektorrechnung Pyramide mit dreieckiger Grundfläche

13.03.2008, 16:23

Moon

Vektorrechnung Pyramide mit dreieckiger Grundfläche

Hallo ihr,

ich habe da mal ein wieder ein Problem zu folgender Aufgabe:

"Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(1/1/0), B(6/6/1) und C(3/6/1). Ihre Spitze ist S(2/4/4).
Stellen Sie die Gleichungen der Ebenen E1, E2, E3 auf, welche jeweils einee der drei Seitenflächen der Pyramide enthalten.
Berechnen Sie desweiteren die Länge der Seitenkanten und stellen sie die Gleichung der Geraden auf, auf der alle Kanten liegen. Wie groß sind die Grundfläche und das Volumen der Pyramide?"

Das habe ich bis jetzt:
Gleichungen der Seitenflächen:
$\begin{eqnarray*} E_1 (ABS) : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 6 - 1 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 4 - 1 \\ 4 - 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2 (BCS) : \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_3 (ACS) : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Länge der Seitenkanten:
$\begin{eqnarray*} AS = \sqrt{(1-2)²+(1-4)²+(0-4)²} = \sqrt{26} = 5.1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} BS = \sqrt{29} = 5.39 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} CS = \sqrt{14} = 3.74 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AB = \sqrt{51} = 7.14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} BC = \sqrt{9} = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AC = \sqrt{30} = 5.48 \end{eqnarray*}$

Gleichung der Geraden, auf der alle Kanten liegen:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 4 \\ z - 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hierbei bin ich davon ausgegangen, dass nur die Kanten von S aus gemeint sind und das somit eine Art Geradenschar ist, oder gibt es da eine andere Möglichkeit?

Grundfläche und Volumen:
Die Grundfläche ist ein Dreieck, von dem ich die Seitenlängen weiß. Da es nicht rechtwinklig ist brauche ich entweder die Höhe oder den Umkreisradius. Zeichnerisch ist h ungefähr 2,1, aber das kann man doch bestimmt ausrechnen?
Edit: Habe gerade die Heronsche Formel entdeckt, mit der funktionierts auch ohne h smile

A = 7,66 FE

Beim Volumen stört mich, dass es eine dreieckige Grundfläche hat.. Ich habe leider nur Formeln für quadratische Pyramiden und Tetraeder gefunden. Kann ich die irgendwie umstellen?

Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Hinweise geben, jedenfalls schonmal danke fürs Durchlesen smile

Gruß Moon

PS: Ich hoffe das war jetzt in der richtigen Rubrik, ansonsten bitte verschieben..

13.03.2008, 18:32

sqrt4

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bei Ebene eins hast du beim letzten Vektor in der ersten Zeile hast du dich verschrieben.. nicht 2-4 sondern 2-1.

Ebenen stimmen sonst alle Freude

Längen der Seitenkanten stimmen auch

14.03.2008, 00:06

mYthos

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Zur Grundfläche:

Wenn dir das Vektorprodukt ein Begriff ist: Der Betrag des Vektorproduktes zweier das Dreieck aufspannender Vektoren ist gleich der doppelten Fläche des Dreieckes.

$\begin{eqnarray*} A = \ldots = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -15 \end{pmatrix} \right| = \ldots \end{eqnarray*}$

Zum Volumen:

Statt des Weges über die Berechnung der Höhe kann das Volumen direkt mittels des Spatproduktes berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{6} \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \ldots \end{eqnarray*}$

Der erste Vektor ist das Vektorprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{CB} \end{eqnarray*}$ , der zweite Vektor ist $\begin{eqnarray*} \vec{CS} \end{eqnarray*}$

mY+

Ach ja:
Ich verschieb's mal zur -> Geometrie

14.03.2008, 18:56

Moon

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oh sorry, stimmt, schon verbessert Augenzwinkern

ne, wir haben erst diese woche mit den ebenen angefangen, vektorprodukt hatten wir noch nicht. aber ich habe das mal gesucht, bis auf die vorzeichen habe ich dasselbe wie du:

$\begin{eqnarray*} CA = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 1 - 6 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} CB = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} CS = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -5 * 0 - (-1) * 0 \\ -1 * 3 - (-2) * 0 \\ -2 * 0 - (-5) * 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
davon dann den Betrag:
A = $\begin{eqnarray*} \sqrt{0²+(-1.5)² + 7.5²} \end{eqnarray*}$ = 7.65
-> das hatte ich ja auch mit der Heronschen Formel smile

das spatprodukt hatten wir zwar auch noch nicht, aber ich rechne das jetzt einfach mal so, bin gespannt wie unser lehrer sich das sonst gedacht hat..
$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -45 \end{pmatrix} = 7,57 \end{eqnarray*}$

das kommt mir etwas wenig vor, stimmt das oder habe ich mich jetz doch verrechnet?
gruß, moon

14.03.2008, 19:12

riwe

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am schluß ist dir ein fehler passiert.
das ist ein skalarprodukt!
$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{6}|(-6-45)|=\frac{17}{2} \end{eqnarray*}$

ist aber auch nicht viel mehr unglücklich

14.03.2008, 19:43

Moon

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ach deswegen die betragsstriche.. danke!
hatten wir alles noch nicht.. vielleicht wollte unser lehrer uns mal wieder zum selbstständigen lernen und arbeiten anregen verwirrt

hat jemand eine idee für die gleichung, auf der alle kanten liegen?

14.03.2008, 20:13

mYthos

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Zitat:

Original von riwe
...
ist aber auch nicht viel mehr unglücklich

Es stimmt aber. Es liegt an der relativ kleinen Höhe (rd. 3,4 LE)

@Moon

Die Höhe kannst du auch mit der Hesse'schen Normalform der Ebene ABC bestimmen, in die du dann den Punkt S einsetzt (Abstand des Punktes S von der Ebene ABC):

$\begin{eqnarray*} x_2 - 5x_3 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_2 - 5x_3 - 1}{\sqrt{26}} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{4 - 20 - 1}{\sqrt{26}} \right| = h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{17}{\sqrt{26}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \frac{Ah}{3} \end{eqnarray*}$

-------------------------

Eine Gleichung, auf der alle Kanten liegen, gibt es aus zwei Gründen nicht:

1. Auf einer Gleichung kann nie irgendetwas liegen Big Laugh

2. Auch sonst erscheint das unmöglich! Was soll das sein und wie soll dies aussehen?

mY+

14.03.2008, 23:13

Moon

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hm, okay, dankeschön smile

ja, das mit der gleichung fand ich auch ein wenig verwirrend.. die aufgabe stand nicht im buch, hat uns unser lehrer diktiert, der wortlaut könnte also ein wenig abweichen.. aber so was in der richtung hat er gesagt. den rest habe ich ja jetzt smile

15.03.2008, 11:13

riwe

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Zitat:

Original von Moon
hm, okay, dankeschön smile

könnte ja heißen: gib die gleichungEN der geradeN an, auf denen die kanten liegen (auch wenn auf einer geraden nix liegen können soll) verwirrt

15.03.2008, 13:19

Moon

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ähm ja, dann stelle ich mal die einzelnen geradengleichungen für die kanten auf.. werde ja am montag sehen, wie das mit dem "daraufliegen" gedacht war Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{BC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{BS} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{CS} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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