Grenzwert mit Hospital

13.03.2008, 20:07

Matheanfaenger

Grenzwert mit Hospital

Hallo Community!

Wie kann man sehen, dass man Hospital brauch, um diesen Grenzwert auszurechnen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot (e^{1/x} -1) \end{eqnarray*}$

Als ich die Musterlösung gesehen habe, ging mir ein Licht auf, aber ich wäre da nicht drauf gekommen.

13.03.2008, 20:40

system-agent

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Wie man das sehen kann?
Na du hast sowas dastehen wie $\begin{eqnarray*} \infty\cdot0 \end{eqnarray*}$ und da muss man sich was einfallen lassen.
Vll ist L'Hospital gut, aber ein bischen Taylor für $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ sollte auch gut sein.

13.03.2008, 21:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Matheanfaenger
Wie kann man sehen, dass man Hospital brauch, um diesen Grenzwert auszurechnen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot (e^{1/x} -1) \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist vielleicht etwas übertrieben. Natürlich braucht man l'Hospital nicht, es geht viel einfacher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}x\cdot\left(\operatorname e^{\frac{1}{x}}-1\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}=\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1 \end{eqnarray*}$ .

13.03.2008, 21:13

system-agent

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Na das gefällt mir noch besser smile

13.03.2008, 23:34

Tomtomtomtom

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Und wie geht da das letzte Gleichheitszeichen ohne l'Hospital? Doch maximal auch wieder nur mit der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion.

13.03.2008, 23:46

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{e}^t - \operatorname{e}^0}{t - 0} = \left. \frac{\mathrm{d} ( \operatorname{e}^t ) }{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} = \operatorname{e}^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Man muß also nur die Ableitung der Exponentialfunktion kennen, wie auch immer man zu ihr kommen mag.

14.03.2008, 08:31

Matheanfaenger

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Der Lösungsweg von Mathespezialschüler gefällt mir sehr gut.

Aber könntet ihr mir noch kurz erklären, warum man da diese Substitution mit dem t machen darf? Das hab ich jetzt schon öfter gesehen, aber irgendwie ist mir noch nicht ganz klar aufgrund welcher Regel man das machen darf und welche Voraussetzungen dafür erfüllt sein müssen.

14.03.2008, 12:56

WebFritzi

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Das darf man machen, weil 1/x stetig ist auf [c,oo), c > 0, und der Grenzwert für x -> oo existiert.

14.03.2008, 20:01

Mathespezialschüler

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Oder auch so: Ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge, die bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ divergiert, dann konvergiert $\begin{eqnarray*} y_n:=\frac{1}{x_n} \end{eqnarray*}$ (von oben) gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Und damit ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{x_n}\right)=\lim_{n\to\infty}f(y_n) \end{eqnarray*}$ ,

für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , falls einer der beiden Grenzwerte existiert.

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