Mengen

14.03.2008, 03:18

tux007

Mengen

Hi, ich habe da mal was aus der Mengelehre anzubieten!

[latex]
Hier\ die\ Behauptung:\\
f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \\
\\
\\Und\ nun\ mein\ Versuch\ eines Beweises:\\
f(A_1 \cap A_2)\\
\Leftrightarrow
\exists x \in A_1 \land A_2 : f(x)=y \in Y \\
\\ \\
f(A_1) \cap f(A_2) \\
\Leftrightarrow
\exists x \in A_1 \vee A_2 : f(x)=y \\

da\ A_1 \vee A_2 \neq A_1 \land A_2\ ist,\ ist\ das\ ein\ wiederspruch
[\latex]

kann man das so gelten lassen?

14.03.2008, 03:25

tux007

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RE: Mengen
Sorry, nochmal der Versuch mit dem latex

$\begin{eqnarray*} Hier\ die\ Behauptung: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

Und nun mein Versuch eines Beweises:
$\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \land A_2 : f(x)=y \in Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \vee A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} A_1 \vee A_2 \neq A_1 \land A_2\ \end{eqnarray*}$

ist, ist das ein wiederspruch

Ich würde mal sagen, das geht so, bin mir da aber nicht so sicher...

Hier noch eine Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f(A_1\cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \cup A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \cup \exists X \in A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists f(x \in A_1) \vee f(x \in A_2): f(x)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(A_1) \cup f( A_2 ): f(x)=y \end{eqnarray*}$
ich meine auch das könnte man als bewiesen ansehen....
Was sagt ihr dazu?

edit (Mazze) : Es macht durchaus Sinn jede Zeile mit einer eigenen Latex Umgebung zu beginnen um das <br> zu vermeiden. Weiterhin sollte man, wenn man schon Text in latex verwendet \text{} benutzen.

14.03.2008, 03:42

tux007

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PS: Sorry wegen dem kram da oben... war nicht eingeloggt, und kann das nicht richten... Wenn ein Admin bitte für Ordnung sorgen könnte... Danke!

14.03.2008, 14:10

Mazze

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So und jetzt fangen wir mal ganz von vorne an. $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage daher macht eine Umformung

$\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \land A_2 : f(x)=y \in Y \end{eqnarray*}$

überhaupt keinen Sinn. Die Aussage ist allerdings , richtig erkannt falsch. In der Tat gilt nur

$\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

Beweise dieser Art fängt man normalerweise so

$\begin{eqnarray*} y \in f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$

an. Ich würde den Beweis allerdings per Gegenbeispiel führen. Schau Dir mal

$\begin{eqnarray*} A_1 = \{1,2\}, A_2 = \{2,3\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \{1,3\} \\ 0 & x = 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

an, und berechne die Mengen auf beiden Seiten der Gleichung. Des weiteren ist diese Äquivalenz hier

$\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \vee A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$

nicht nur syntaktisch sondern auch semantisch falsch. Nehmen wir nämlich an

$\begin{eqnarray*} x_0 \in A_1, x_0 \not \in A_2 \text{ also } x \in A_1 \vee x \in A_2 \end{eqnarray*}$ und das f injektiv ist dann existiert kein

$\begin{eqnarray*} x_1 \in A_2 \end{eqnarray*}$ der Art, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} y \not \in f(A_1) \cap f(A_2) \text{ falls } y = f(x_0) \end{eqnarray*}$ (insbesondere ist der Schnitt leer wenn A_1 und A_2 disjunkt sind)

Entsprechend ist Deine Beweisführung falsch.

Zum Zweiten:

Das hier

$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \cup \exists X \in A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$

ist formaler Blödsinn. Ich hab noch nie gehört das man logische Aussagen vereinigen kann. Es sollte

$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \vee \exists x \in A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$

heissen. Das hier

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists f(x \in A_1) \vee f(x \in A_2): f(x)=y \end{eqnarray*}$

vermag ich nicht zu deuten, aber ich vermute Du meinst das richtige. Es sollte aber korrekterweise so aussehen

$\begin{eqnarray*} \exists x \in A_1 \vee \exists x \in A_2 : f(x)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists x \in A_1 : f(x) = y \vee \exists x \in A_2 : y = f(x) \end{eqnarray*}$

Ich rate Dir dringend mal über den Unterschied zwischen logischen Aussagen und Mengengleichungen nachzudenken. Bei solchen Abgaben wirste in einer Klausur auf die Nase fallen.

14.03.2008, 17:25

tux007

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hallo,

danke für deine Kritik, das ist schon irgendwie einleuchtent!

Aber zu dem 1. Teil, wie komme ich darauf, das ich das mit einem Gegebbeispiel zeige? Ok, dass das aufgeht, ist mir klar! Aber wie kommt man auf die Idee das so zu machen?

14.03.2008, 17:31

Mazze

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Zitat:

Aber zu dem 1. Teil, wie komme ich darauf, das ich das mit einem Gegebbeispiel zeige? Ok, dass das aufgeht, ist mir klar! Aber wie kommt man auf die Idee das so zu machen?

Eine mathematische Aussage gilt dann, und nur dann wenn sie für alle Elemente/Objekte der Menge/des Raumes die in der Voraussetzung angegeben werden gilt. Findest Du auch nur ein Element/Objekt/was auch immer was den Voraussetzungen genügt, jedoch nicht die Folgerungseigenschaft besitzt so ist die Aussage falsch. Dieses Objekt ist dann das Gegenbeispiel.
Das klingt jetzt ziemlich wild, aber man kann sagen, wenn man eine Aussage widerlegen will, so findet man am besten ein Gegenbeispiel. Man kann es immer auch anders machen, aber diese Methode ist schlichtweg die leichteste. Und wenn man ertsmal erkannt hat, das eine Aussage nicht gilt, dann hat man meistens latent schon ein Gegenbeispiel im Kopf. Weil irgendwie muss es einem ja klar geworden sein Augenzwinkern

14.03.2008, 17:36

tux007

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nun ja, aber ich afnge eigentlich an zu "rechnen" um zu sehen ob das richtig oder falsch ist. Meine erste Intuition ist meistens nicht wirklich gut..

14.03.2008, 17:38

Mazze

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Naja, wenn Du direkt anfängst wirst Du irgendwann zu einem Punkt kommen (wenn Du korrekt arbeitest) wo Du merkst das es nicht weiter geht. Das ist oft (nicht immer) dann genau der Punkt warum die Aussage nicht gilt. Manchmal brauchts mehrere Anläufe. Ich hab noch nie eine Aufgabe im ersten Ansatz gelößt (ausser es waren einfache Sachen wie linearitätnachweise und solche Dinge). Bei dieser Aufgabe hier bin ich am Anfang auch zunächst davon ausgegangen das die Aussage gilt, habs dann aber sehr schnell revidiert.

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