Schiefe Pyramide und Dreieck

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Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefe Pyramide und Dreieck
Hallo Freunde,

Ich habe folgende Aufgabe und will nur wissen, ob meine Ergebnisse und Überlegungen richtig und vollständig sind. Gut, also dann mal los:

Die Punkte A(6|4|1), B(4|6|0), C(5|8|2) und E (4|3|3) gegeben.
a) Zeige dass ABC ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreick bilden
b) Berechne die Mittelpunkte der Seiten.
c) Die Punkte ABCE begrenzen eine dreiseitige Pyramide. Zeichne diese in ein KO. Begründe, ob die Pyramide schied oder gerade ist. Berechne die Volumenmaßzahl
d) Berechne den Winkel zwischen den Seitenkanten AE und BE.

Nun, ich habe folgendes:
Ich hab mir gedacht, um die Gleichschschenkligkeit zu beweisen, rechne ich die Seitenlängen aller Seiten aus, und dann müssen ja zwei seiten gleich lang sein.
Die Seitenlängen sind bei mir:
AB = 3
AC ~ 4,24
BC = 3

--> gleichschenklig da BC=AB ist.
Nun habe ich mir überlegt, wie das Dreieck aussieht, also wo der rechte Winkel liegt. Und da die Seiten gleichschenklig sind, müssen also 2 Winkel 45° sein und dort wo die zwei gleichlangen Seiten zusammenlaufen, muss der rechte Winkel sein.
Daraus habe ich folgendes gemacht:
Der Winkel zwischen den Seiten AB und AC muss 45° sein:
sin = = 45°
Der Winkel zwischen den Seiten BC und AC muss 45° sein:
sin = = 45°

Und da die Winkel eines Dreiecks immer 180° ergeben müssen:
= 180°-45°-45° = 90°

--> rechtwinklig

b)
Ist relativ einfach, muss man denke ich nix zu sagen:
AB: M(5|5|0,5)
AC: M(5,5|6|1,5)
BC: M(4,5|7|1)

c)
Ich habs gezeichnet. Und dort habe ich gesehen, dass der Punkt E, welcher die Spitze der Pyramide bildet, nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche (des Dreiecks) liegt, und somit die Pyramide schief ist.

Volumenberechnung bin ich von dieser Formel ausgegangen:
V = 1/3*Ag*h
bin mir bei der nich so sicher, im TW steht einfach nur Pyramiden und dann diese Formel.
Ag = 1/2 * AB * BC
AG = 4,5 LE²

Jetzt brauch ich noch die Höhe der Pyramide. Und da der Punkt E genau über A liegt, wie in meiner Zeichnung zu sehen, kann ich die Höhe aus der Streckenlänge von AE bestimmen, richtig ?
also dann:
AE=3=h
somit ist das Volumen dann:
V=4,5 LE³

d) AE hab ich schon:
AE=3
BE ~ 4,24
sin = = 45°


Ich hoffe, dass ihr mir sagt, dass das richtig ist.

In jedem Fall, schonmal vielen Dank

Grüße

Wrandy
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

a) richtig

du kannst aber auch gleich auf den rechten Winkel losgehen, diesen schließen AB und BC ein; welchen Wert muss das skalare Produkt der beiden Vektoren haben?

b) ok

c) Aus der Zeichnung allein wird dies nicht (immer) festzustellen sein. Wenn die Pyramide gerade ist, muss E genau senkrecht über dem Schwerpunkt des Basisdreieckes liegen! Mit welchen geometrischen Hilfsmitteln kannst du das testen?

Gut, die Pyramide ist schief und es stimmt auch, dass AE senkrecht zur Basisebene ist. Ist es bei euch erlaubt, dies alleine aus der Zeichnung zu folgern? Normalerweise müsste man beides (das oben und das hier) durch Rechnung belegen. Das Volumen und auch

d)
der Winkel sind richtig. Auch hier müsste man allerdings in der Lage sein, den Winkel allgemeiner zu ermitteln: Für den Winkel, den zwei Vektoren einschließen, gilt



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