Körpererweiterung

15.03.2008, 12:16	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung hallo ich habe ein problem mit körperweiterungen da komme ich nicht weiter. es sieht so aus: sei $\begin{eqnarray} \zeta = e^{2\pi i /3}, K = \mathbb Q(\sqrt[3]{2},\zeta) \end{eqnarray}$ K also Körpererweiterung von Q. ich möchte zeigen, dass es genau einen unterkörper L von K gibt, mit $\begin{eqnarray} [L:\mathbb Q] = 2 \end{eqnarray}$ wie macht man das?
15.03.2008, 14:31	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
dass es maximal einen gibt, das kann ich glaube ich zeigen. wenn es 2 unterschiedliche unterkörper Q(a), Q(b) gäbe, so wäre für F=Q(a,b), [F:Q] = 4. dies teilt jedoch nicht [K:Q] = 6. somit kann es maximal einen unterkörper geben. ich weiss immer noch nicht, wie ich zeigen könnte, dass es überhaupt einen gibt. dachte an beweis durch konstruktion, aber dazu müsste ich erst einmal ein element in K finden, dessen minimalpolynom 2. grad hat irgendwelche vorschläge wären hilfreich
15.03.2008, 14:58	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich glaub ich hab's gelöst. das element $\begin{eqnarray} \zeta - \zeta^2 \end{eqnarray}$ ist nullstelle eines polynomes 2. grades. muss es noch ausarbeiten aber ich glaub so weit hätte ich es dann.
15.03.2008, 15:41	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\zeta):\mathbb Q]=\varphi(3)=2 \end{eqnarray}$ mit der eulerschen phi-Funktion. EDIT: Der Nachweis der Eindeutigkeit sollte stimmen.
15.03.2008, 15:52	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
bist du dir mit dem minimalpolynom sicher? ich dachte das minimalpolynom wäre $\begin{eqnarray} x^3 - 1 \end{eqnarray}$
15.03.2008, 16:14	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich bin mir sicher. Es gilt $\begin{eqnarray} x-1\|x^3-1 \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist dein Polynom nicht irreduzibel.
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15.03.2008, 16:31	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
oh mann. voll verpeilt. jetzt ist es klar. danke

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