Potenzreihe des Sinus

15.03.2008, 12:41	Matheanfaenger	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe des Sinus Wir haben den Sinus definiert als $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot x^{2 \cdot k+1}}{(2 \cdot k +1)!} \end{eqnarray}$ Und nun wird behauptet dies sei eine Potenzreihe der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}a_k \cdot (x-x_0)^k \end{eqnarray}$ Irgendwie schaffe ich es aber nicht die Reihe des Sinus so umzuformen, dass sie die Form einer Potenzreihe annimmt. Wie könnte das gehen?
15.03.2008, 12:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koeffizienten der nicht vorhandenen x-Terme sind nunmal 0. Hilft dir das schon?
15.03.2008, 13:04	Matheanfaenger	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht so wirklich. Ich habe die Reihe bisher so umgeformt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot x^{2 \cdot k +1}}{(2 \cdot k + 1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{\frac{(-1)^k}{(2 \cdot k + 1)!}}_{=a_k} \cdot x^{2 \cdot k +1} \end{eqnarray}$ Aber wie bringe ich nun dieses $\begin{eqnarray} x^{2 \cdot k +1} \end{eqnarray}$ in die Form $\begin{eqnarray} (x-x_0)^k \end{eqnarray}$ ?
15.03.2008, 13:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
gar nicht, da es (zumindest wird es keine schöne sein) explizite Formel für die a_k gibt. D.h. deine Wahl der a_k ist einfach falsch. Wie $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gewählt wird siehst du hoffentlich. Jetzt gebe ich dir einfach mal die ersten paar Werte von $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ und du schreibst es dann explizit hin(mit einer Fallunterscheidung) $\begin{eqnarray} a_0=0\\ a_1=\frac{(-1)^0}{(2\cdot 0 +1)!} \\ a_2=0 \\ a_3=\frac{(-1)^1}{(2\cdot 1 +1)!} \end{eqnarray}$
15.03.2008, 13:28	Matheanfaenger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ ist. Du meinst also das hier? 1. Fall (k gerade): $\begin{eqnarray} a_k=0 \end{eqnarray}$ 2. Fall (k ungerade): $\begin{eqnarray} a_k=\frac{(-1)^{\frac{k-1}{2}}}{(2 \cdot \frac{k-1}{2}+1)!} \end{eqnarray}$ Aber irgendwie sehe ich noch nicht, wie man damit weiterkommt.
15.03.2008, 13:32	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja x0 passt. Und deine Koeffizienten auch. Jetzt musst du nur noch erkennen das du am Ziel angekommen bist Sprich das wenn du die gefundenen Koeffizienten a_k in die allg. Form einsetzt du auf den Sinus kommst
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15.03.2008, 14:13	Matheanfaenger	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ichs verstanden. Ich hab mir einfach mal die ersten Glieder der Reihe aufgeschrieben. Dann sieht man, dass die beiden Darstellungen gleichwertig sind. Schon wieder was dazugelernt. Vielen Dank.

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