Leontief-Modell Herleitung

16.03.2008, 19:10

Der Dude

Leontief-Modell Herleitung

Huhu Leute,
Hab schon die Boardsuche gefunden aber nicht die Herleitung gefunden. Wie man die Leontiefgleichung anwendet und so ist für mich weniger das Problem allerdings hab ich vergessen bzw. es wird aus meinen Unterlagen nicht mehr ersichtlich, wie man von

$\begin{eqnarray*} \gamma = x - A * x \end{eqnarray*}$

auf die Leontiefgleichung kommt

Um mein Problem ein wenig zu verdeutlichen:

http://i205.photobucket.com/albums/bb212/Brootaldude/Leontief.jpg
(draufklicken zum vergrößern)

Kann mir jemand den Zwischenschritt erklären der mir fehlt ? Gibt es da überhaupt einen ? Ich weiß noch das für die Inversen beim Leontief Modell gilt:
$\begin{eqnarray*} A * x = E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x * A = E \end{eqnarray*}$

Aber der Zwischenschritt und die Herleitung wird mir daraus nicht ersichtlich, was vor allem daran liegt dass in der Ausgangsgleichung ja x - A ohne Klammern steht, sprich eigentlich Punkt vor Strich aber hier scheint zu gelten

$\begin{eqnarray*} x- A = (E-A) \end{eqnarray*}$ ?

Hoffe jemand kanns mir möglichst begreiflich erläutern, bin für jede helfende Erläuterung dankbar Augenzwinkern

16.03.2008, 19:30

tigerbine

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RE: Leontief-Modell Herleitung
verwirrt

Was ist nun die eigentliche Frage? Wo ist da die Inverse?

Zitat:

Ich weiß noch das für die Inversen beim Leontief Modell gilt:
$\begin{eqnarray*} A * x = E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x * A = E \end{eqnarray*}$

Ausgehend von x,y,A ergibt sich mit den Rechenregeln der Matrizenmulpitplikation aus

$\begin{eqnarray*} y=x-Ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = (E-A)x \end{eqnarray*}$

durch ausklammern von x. Dabei wird es aus Dimensionsgründen nur so, und nicht z.B. x(E-A) möglich sein.

Um nach x aufzulösen, kann man (so fern sie existiert!) die Inverse bilden. Diese wird von Links heranmultipliziert.

$\begin{eqnarray*} (E-A)^{-1}y =x \end{eqnarray*}$

17.03.2008, 11:27

The Dude

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RE: Leontief-Modell Herleitung

Zitat:

Original von tigerbine

Ausgehend von x,y,A ergibt sich mit den Rechenregeln der Matrizenmulpitplikation aus

$\begin{eqnarray*} y=x-Ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = (E-A)x \end{eqnarray*}$

durch ausklammern von x. Dabei wird es aus Dimensionsgründen nur so, und nicht z.B. x(E-A) möglich sein.

$\begin{eqnarray*} (E-A)^{-1}y =x \end{eqnarray*}$

Argh! Also gilt:

$\begin{eqnarray*} y=x-Ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = (E-A)x \end{eqnarray*}$

Weil man einfach nur das X ausklammert und da man ja bei der Matrizenrechnung nicht Zahlen mit Matrizen addieren/subtrahieren kann schreibt man ja auch nicht (1-A)x sondern (E-A)x weil das ausmultipliziert wieder x-Ax gibt?

Also aufgelöst Ex-Ax = x-Ax

Uhh, also das war dann auch schon mein Problem was sich gelöst hab wenn ichs jetzt so richtig verstanden hab Augenzwinkern

Eigentlich auch ganz logisch, irgendwie stand ich da wohl aufm Schlauch ^^'

Das war auch schon die eigentliche Frage @ tigerbine wie sich genau dieser Schritt erklärt. Das man das x nur ausgeklammert hat hab ich wegen dem E irgendwie nicht gesehen :S

Vielen Dank! smile

17.03.2008, 11:43

tigerbine

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RE: Leontief-Modell Herleitung
Jupp, das ist der ganze "Trick". Augenzwinkern

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