Grenzwert

17.03.2008, 17:18

Cliff Barnes

Grenzwert

Folgende Grenzwertbeziehung ist zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1}\sqrt{1-x}\sum_{n=1}^\infty x^{(n^2)}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{eqnarray*}$

Ich finde keinen Ansatz und wäre für jeglichen Hinweis sehr dankbar.

17.03.2008, 21:08

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Alles, was ich zunächst sagen kann, dass diese Problem irgenwie mit deinem anderen Problem

Merkwürdige Reihengleichung

zusammenzuhängen scheint: Für $\begin{eqnarray*} x=e^{-\pi z} \end{eqnarray*}$ ist schließlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} x^{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 z} \end{eqnarray*}$ .

Aber das war dir wohl auch so klar. Augenzwinkern

Beide Anfragen von dir scheinen immerhin die interessantesten zu sein, die heute hier aufgetaucht sind. Dafür schon mal vielen Dank. Augenzwinkern

17.03.2008, 21:58

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Ok, sehen wir mal

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ~ e^{-\pi n^2 z} = \frac{1}{\sqrt{z}}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty e^{\frac{-\pi n^2}{z}}\right) \end{eqnarray*}$

aus dem anderen Thread als gegeben an. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\nearrow 1} \sqrt{1-x} \sum_{n=1}^{\infty} x^{n^2} &=& \lim\limits_{z\searrow 0} \sqrt{1-e^{-\pi z}} \sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2 z} = \lim\limits_{z\searrow 0} \sqrt{1-e^{-\pi z}} \left( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2 z} \right)\\ &=& \lim\limits_{z\searrow 0} \sqrt{\frac{1-e^{-\pi z}}{z}} \left( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{z}} \right) = \sqrt{\lim\limits_{z\searrow 0} \frac{1-e^{-\pi z}}{z}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{eqnarray*}$

War also nur eine Folgerung. Augenzwinkern

18.03.2008, 11:21

Cliff Barnes

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Oho!
Das hab ich nicht als Folgerung aus dieser Reihenidentität erkannt.

Ich hätte z. B. noch folgende Aussagen zu beweisen auf deren Basis ich dann folgern wollte:

(1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 1}(1-x)^p\sum_{n=1}^\infty n^{p-1}x^n=\Gamma(p), ~p>0 \end{eqnarray*}$

(2) Es gelte $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{n^{p-1}}\longrightarrow a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty. \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 1}(1-x)^p\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=a\Gamma(p) \end{eqnarray*}$

(3) Sei $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(n^{-p}\sum_{k=1}^n a_k\right)=a. \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 1}(1-x)^p\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=a\Gamma(p+1), ~p>-1 \end{eqnarray*}$

18.03.2008, 11:39

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Scheint eine interessante Vorlesung zu sein, die du da besuchst. Ohne deren Inspiration (du kannst auch gern ein wenig mehr verraten, was ihr da gerade macht) wird es für die Helfer natürlich ganz schwer, irgendwas zu reißen. Dass das hier ein wenig über den üblichen Stoff einer Analysis-Grundvorlesung hinausgeht, ist wohl jedem klar. Augenzwinkern

18.03.2008, 19:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z\searrow 0} \sqrt{1-e^{-\pi z}} \sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2 z} = \lim\limits_{z\searrow 0} \sqrt{1-e^{-\pi z}} \left( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2 z} \right) \end{eqnarray*}$

Also irgendwie komme ich da nicht mit. verwirrt

18.03.2008, 19:44

Tomtomtomtom

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Ausmultiplizieren, der Limes von dem ersten Summanden ist dann 0.

18.03.2008, 20:31

Mathespezialschüler

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Danke. So eine Umformung ohne Kommentar ist halt manchmal fies ... Aber naja, hätt ich trotzdem gut selbst drauf kommen können. *grrr*

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