Modellierung einer Population

17.03.2008, 22:42

Assal

Modellierung einer Population

Hallo!

Bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht voran.....

wäre für jede Hilfe dankbar!!!

Mit Hilfe des Modells $\begin{eqnarray*} f_n=af_{n-1}+a^2f_{n-2}+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_0, f_1 \end{eqnarray*}$ gegeben, soll die zeitliche Entwicklung der Anzahl der Gene $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ einer Population beschrieben werden. Dabei sind 0<a<1 und $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ Modellparameter.
Es wird also angenommen, dass der genetische Einfluss früherer Generationen auf den Genpool der jüngsten Generation um einen konstanten Faktor abnimmt. Außerdem wird vorausgesetzt, dass ein Anteil der Gene zeitlich unverändert bleibt, also von einer Generation zur nächsten ohne Mutation vererbt wird.

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ .
verwirrt

17.03.2008, 22:45

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Kannst du dir bitte mal angewöhnen, die Indizes richtig zu setzen? Das ist mir schon im Thread

Modellierung mit Kaffee

unangenehm aufgefallen, obwohl MSS mehr als einmal gezeigt hat, wie es richtig geht. Also hier nochmal deutlich:

$\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$ geschrieben mit geschweiften Klammern f_{n-1}

17.03.2008, 22:47

Assal

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Hi!

Sorry, und vielen Dank nochmals für die Erinnerung! Freude

17.03.2008, 22:54

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Jetzt mal fachlich zu a)

Dividiert durch $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt deine Rekursionsgleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{f_n}{a^n} = \frac{f_{n-1}}{a^{n-1}} + \frac{f_{n-2}}{a^{n-2}} \end{eqnarray*}$ .

Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} F_n=\frac{f_n}{a^n} \end{eqnarray*}$ wird daraus

$\begin{eqnarray*} F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \end{eqnarray*}$ .

Sagt dir das was? Das ist die Rekursion der Fibonacci-Folge, wenn auch mit anderen Startwerten.

18.03.2008, 16:36

Assal

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ja, jetzt seh ich das auch! Aber auf die Idee bin ich nicht gekommen, die Gleichung durch etwas zu teilen oder gar einer Substitution....

Es ist eine DFG 2. Ordnung und die Lösung der Fibonacci-Gleichung ist doch:

$\begin{eqnarray*} F_n= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} *[(1+\sqrt{5}/2)^k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -(1-\sqrt{5}/2)^k] \end{eqnarray*}$

Oder?

18.03.2008, 16:55

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Vorsicht!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist die Rekursion der Fibonacci-Folge, wenn auch mit anderen Startwerten.

Das hab ich nicht umsonst geschrieben! Aber mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} F_n= C_1\cdot \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + C_2\cdot \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$

sollte es klappen. Die beiden Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ sind aus deinen gegebenen Anfangswerten $\begin{eqnarray*} f_0,f_1 \end{eqnarray*}$ ermittelbar.

18.03.2008, 17:13

Assal

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ok....die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} f_0,f_1 \end{eqnarray*}$ sind allerdings nicht gegeben - zumindest nicht im Teil a)....
muss ich die Lösung dann allgemein halten mit den Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1, c_2 \end{eqnarray*}$ ??

denn erst bei b) heißt es:

Stellen Sie $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_0=0 \end{eqnarray*}$ explizit dar, d. h. nur in Abhängigkeit von n, a und dem Anfangswert $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ .
unglücklich

18.03.2008, 18:40

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Die beiden Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ sind aus deinen gegebenen Anfangswerten $\begin{eqnarray*} f_0,f_1 \end{eqnarray*}$ ermittelbar.

Wirklich überhaupt keine Ahnung, wie man da vorgehen könnte? Wie wär's mit Einsetzen von n=0 und n=1 in die explizite Darstellung von $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ , bzw. in die durch Rücktransformation ermittelte Darstellung für $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ !

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