Integrationskonstante

18.03.2008, 10:28

Matheanfaenger

Integrationskonstante

Irgendwie finde ich es verwirrend, was es mit der Integrationskonstante auf sich hat. Wann muss diese hingeschrieben werden und wann nicht?

Was ist zum Beispiel, wenn man $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$ gegeben hat? Die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hat eine Polstelle bei 0. Also folglich bezeichnet $\begin{eqnarray*} ln(|x|)+c \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt die Menge aller Stammfunktionen.

18.03.2008, 11:05

klarsoweit

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RE: Integrationskonstante
Wieso nicht? Das Hinschreiben der Integrationskonstante ist im Grunde eine Sache der Vereinbarung. Es läßt sich leicht zeigen, daß 2 Stammfunktionen sich um eine Konstante unterscheiden. Daher hat man diese eher lästige Sache mit der Integrationskonstante eingeführt.

18.03.2008, 11:05

Leopold

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So ist das. Der Streit über die Verwendung des unbestimmten Integrals ist so alt wie das Zeichen selber: Soll da zum Beispiel eine Integrationskonstante hingeschrieben werden oder nicht? Wie sieht das mit dem Definitionsbereich aus? Ich empfehle die folgende Sicht:

Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine auf einem Intervall (!!!) stetige Funktion ist, definiere man bezüglich dieses Intervalls

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)~\mathrm{d}x = \mbox{eine irgendwie fest gewählte Stammfunktion} \ F(x) \ \mbox{von} \ f(x) \end{eqnarray*}$

Dabei weicht die Bedeutung des Gleichheitszeichens von der üblichen Bedeutung ab. Man trifft die folgende Konvention: Steht auf mindestens einer der beiden Seiten eines Gleichheitszeichens ein unbestimmtes Integral, so bedeutet das Gleichheitszeichen an dieser Stelle "Gleichheit bis auf eine additive Konstante". Aus

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)~\mathrm{d}x = F_1(x) \ \ \text{und} \ \ \int~f(x)~\mathrm{d}x = F_2(x) \end{eqnarray*}$

folgt also nicht $\begin{eqnarray*} F_1(x) = F_2(x) \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} F_1(x) - F_2(x) = \text{konstant} \end{eqnarray*}$ .

In diesem Sinne kann man also schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln x \ \ \mbox{für} \ x>0 \end{eqnarray*}$

Ebenso richtig wäre aber:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = 1803{,}2008 + \ln x \ \ \mbox{für} \ x>0 \end{eqnarray*}$

Oder auch:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = C + \ln x \ \ \mbox{für} \ x>0 \end{eqnarray*}$

wo $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine irgendwie fest gewählte Konstante ist.

Entsprechend dann auch

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = 3{,}14159 + \ln (-x) \ \ \mbox{für} \ x<0 \end{eqnarray*}$

Dagegen ist die Aussage

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = C+ \ln |x| \ \ \mbox{für} \ x \neq 0 \end{eqnarray*}$

problematisch (siehe dein Beispiel; man kann dann nicht mehr sagen, daß die Differenz zweier Stammfunktionen konstant sein muß). Davon sollte man die Finger lassen. Richtig ist dagegen

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = C + \ln |x| \ \ \mbox{für} \ x \in I \ \mbox{mit einem Intervall} \ I \subset \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

Wie so oft in der Mathematik ist eine Formel ohne die Angabe der genauen Voraussetzungen nichts wert (Quantoren). Man wird allerdings zugeben müssen, daß auch in sonst guter Fachliteratur (z.B. Formelsammlungen) an dieser Stelle oft ein gehörig Maß an "Unsauberkeit" im Spiel ist.

18.03.2008, 11:16

Duedi

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Noch schöner ist allerdings:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x}dx = \{ln(x)+c|c\in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ ,
da das unbestimmte Integral definiert ist als eine Menge von Funktionen.
Dann gilt für eine beliebige Stammfunktion F(x):
$\begin{eqnarray*} F(x) \in \int\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$
Aber solchen Formalismus muss man meiner Meinung nach nicht unbedingt auf die Spitze treiben.

18.03.2008, 11:37

Leopold

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Zitat:

Original von Duedi
Aber solchen Formalismus muss man meiner Meinung nach nicht unbedingt auf die Spitze treiben.

Dieser Meinung bin ich ganz entschieden. Wenn man den Formalismus aber dann doch auf die Spitze treibt, dann sollte man es auch richtig machen. Ich möchte dich daher verbessern:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{x} = \left\{ \left. \ln |x| \ + \ \begin{cases} C_1 & \mbox{für} \ x<0 \\ C_2 & \mbox{für} \ x>0 \end{cases} \ \ \right| \, C_1,C_2 \in \mathbb{R} \, \right\} \ \ \mbox{für} \ x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Und ganz Pingelige werden auch da noch ein Haar in der Suppe finden ...

26.02.2012, 16:25

shrazaam

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Wenn ihr den Formalismus schon auf die Spitze treibt, solltet ihr beachten, dass ihr keine Mengen von Funktionen beschrieben habt, da
$\begin{eqnarray*} ln|x| \in \mathbb{R} \, \forall x\neq0 \end{eqnarray*}$ .

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