Fassvolumen

18.09.2005, 22:29	mas01	Auf diesen Beitrag antworten »
Fassvolumen Zu folgender Klausuraufgabe habe ich eine frage: Die gekrümmte Seite eines fassförmigen, 8m hohen Behälters wird durch einen Ellipsenabschnitt mit der funktion: $\begin{eqnarray} y=\frac{6}{4} \sqrt{4²-x²} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie : a) den Durchmesser des Behälterbodens b) den Abstand zum Behälterboden, in dem der Umfang 22m beträgt c)das Volumen des Behälters a und b bekomme ich hin nur bei c hab ich probleme Mein Lösungsansatz: http://people.freenet.de/shinshinto-world/fass01.JPG P1 (-2,98; 0) P2 (4; 0) P3 (2,98; 4) P4 (-2,98; -4) Also ich brauch ja jetzt das volumen das um die y achse rotiert: Da hab ich erstmal den Zylinder in der mitte ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \pi * r² * h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi 2,98² 8 = 223,19 \end{eqnarray}$ (grün markierter bereich) http://people.freenet.de/shinshinto-world/fass02.JPG Jetzt muss ich noch den grau markierten bereich errechnen das hab ich mit dieser formel versucht: $\begin{eqnarray} Vy = \pi \int_{x1}^{x2}~x²y' ~dx \end{eqnarray}$ Die Ableitung von der funktion: $\begin{eqnarray} y=\frac{6}{4}\sqrt{4²-x²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=\frac{-1,5x}{\sqrt{4²-x²} } \end{eqnarray}$ Jetzt in die Formel eingesetzt: $\begin{eqnarray} \pi \int_{2,98}^{4}~x²\frac{-1,5x}{\sqrt{4²-x²} } ~dx = -171,342 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 171,342+223,19=394,53 \end{eqnarray*}$ DAs kommt mir schon nen bisschen komisch vor das da ein negativer wert rauskommt! in der klausurlösung steht als ergebnis: 342,3 VE ? jetzt schonmal vielen dank für jede hilfe! mas01
18.09.2005, 22:58	mas01	Auf diesen Beitrag antworten »
oder errechne ich mit dieser formel vielleicht das folgende blau markierte volumen? $\begin{eqnarray} \pi \int_{2,98}^{4}~x²\frac{-1,5x}{\sqrt{4²-x²} } ~dx = -171,342 \end{eqnarray}$ http://people.freenet.de/shinshinto-world/fass03.JPG aber warum ist es negativ?
18.09.2005, 23:58	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Ellipsenrand zB so V = 2Pi(Int von 0 bis 4 über ((6/4)^2(4^2-x^2) dx) =192Pi Edit: halt Stopp das ist falsch ... 2Pi(Int von 0 bis 6 über ((2/3(36-y^2)^(1/2))^2) dy) = 128Pi so sollts stimmen 8m hoch ? Warum sind diese P1 bis P4 eingezeichnet ?? Ist der Rand etwa unterschiedlich ? irgendwas scheint durcheinanderzulaufen, oder ? (5x Edit, heute ist der Wurm drin g)
19.09.2005, 09:57	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
diese skizze hat mich auch sehr verwirrt! aber das faß soll so ausschauen, und dann gilt doch einfach $\begin{eqnarray} V=2\pi\int_{0}^{4}~x^{2}~dy \end{eqnarray}$ mit x aus der ellipse was auch das gewünschte ergebnis liefert werner
19.09.2005, 10:16	mas01	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry war vielleicht ein bisschen unverständlich... hab nochmal eine skizze mit werten gemacht. die fkt ist symmetrisch zur y- Achse! das grau schraffierten volumen möchte ich errechnen. http://people.freenet.de/shinshinto-world/fass04.JPG
19.09.2005, 10:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dieses volumen meine ich auch, ergibt mit formel von oben V = 342,55 werner
Anzeige

19.09.2005, 10:50	mas01	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist die allgemeine formel: $\begin{eqnarray} Vy = 2\pi \int_{y1}^{y2}~x²~dy \end{eqnarray}$ wenn ich das jetzt mal interiere ist das ja: $\begin{eqnarray} [2\pi yx²]_{0}^4 \end{eqnarray}$ und wenn ich jetzt einsetze: $\begin{eqnarray} 2\pi \frac{6}{4}* \sqrt{4²-4²}4² = 0 \end{eqnarray}$ könntet ihr mir vielleicht weiterhelfen wo der fehler ist? vielen dank mas01
19.09.2005, 11:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So geht das doch nicht! Du kannst doch nicht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ losgelöst von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ betrachten, sondern musst $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ über die Ellipsengleichung als Funktion von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ darstellen. D.h., du musst zunächst von dem obigen $\begin{eqnarray} y=y(x)=\frac{6}{4}\sqrt{4^2-x^2},\;x\geq 0 \end{eqnarray}$ die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} x=x(y) \end{eqnarray}$ bilden. Erst diese Formel kannst du dann in die Rotationsvolumen-Formel einsetzen und das Integral über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auswerten!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »