Kreuzprodukt-Umkehrung möglich?

19.03.2008, 12:51

n00pitz

Kreuzprodukt-Umkehrung möglich?

Wenn man von einer Koordinatenform einer Ebene in die Parameterform umschreiben will, dann müsste dies doch viel schneller gehen, wenn man das Kreuzprodukt "rückwärts" rechnen könnte, d.h. die Koeffizenten, der Koordinatenform (a1 a2 a3), die ja den Normalvektor darstellen (also das Kreuzprodukt der Parameterform ergeben), in die beiden Richtungsvektoren der Parameterform umwandeln.

Ginge das? Oder gibt es hier nur einen (leider langen) Weg?

Gruß Wink

19.03.2008, 12:58

Leopold

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Erstens sollte man nie von der Koordinatenform in die Parameterdarstellung zurückverwandeln - einfach aus praktischen Gründen: Mit der Koordinatenform kann man viel einfacher rechnen. (Ich kenne keine einzige Anwendung, wo es mit der Parameterdarstellung schneller geht, wenn man die Koordinatenform schon hat.)

Wenn jemand aber trotz meiner Warnung auf die Parameterdarstellung aus ist, dann kann er die nicht durch Rückwärtsrechnen aus dem Kreuzprodukt erhalten. Eine Ebene hat nämlich unendlich viele Paare linear unabhängiger Richtungsvektoren: Jeder Richtungsvektor kann durch eine Linearkombination der beiden alten Richtungsvektoren ersetzt werden, solange die lineare Unabhängigkeit nicht verloren geht.

19.03.2008, 13:22

tmo

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RE: Kreuzprodukt-Umkehrung möglich?

Zitat:

Original von n00pitz
Ginge das? Oder gibt es hier nur einen (leider langen) Weg?

Ja das geht. Man braucht einfach nur 2 linear unabhängige Vektoren, die senkrecht auf dem Normalenvektor stehen.

z.b. $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun wähle z.b. die ersten beiden komponenten und bestimme dann entsprechend die dritte.

$\begin{eqnarray*} u_1 = 3, u_2=0 \Longrightarrow u_3 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 = 0, v_2=3 \Longrightarrow v_3 = -2 \end{eqnarray*}$

19.03.2008, 13:52

n00pitz

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Zitat:

Original von Leopold
Erstens sollte man nie von der Koordinatenform in die Parameterdarstellung zurückverwandeln - einfach aus praktischen Gründen: Mit der Koordinatenform kann man viel einfacher rechnen. (Ich kenne keine einzige Anwendung, wo es mit der Parameterdarstellung schneller geht, wenn man die Koordinatenform schon hat.)

Ich kann mir einfach unter der Parameter-darstellung visuell mehr vorstellen. Es kam außerdem schon vor, dass explizit nach einer solchen Umrechnung "Koordinatenform->Parameterform" gefragt wurde. Ich weiß aber nichtmerhr welche Aufgabe das war, da ich gerade fürs mathe-abi lerne, und deshalb viele Aufgaben rechne. Persönlich habe ich am meisten Probleme mit der analytischen Geometrie, da manche Aufgaben mir dort sehr happig vorkommen.

@tmo: Danke Freude

19.03.2008, 15:57

Leopold

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Hier ein Beispiel für eine Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit einer Parameterdarstellung und einer Koordinatengleichung:

$\begin{eqnarray*} E: \ \ \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -18 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 x_1 -3 x_2 + 13 x_3 = 2 \end{eqnarray*}$

Löse die folgenden Aufgaben sowohl mit der Parameterdarstellung als auch mit der Koordinatenform.

a) Liegen die Punkte $\begin{eqnarray*} P,Q \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} P(69|-11|-13), Q(-15|2|2) \end{eqnarray*}$

b) Berechne den Schnittpunkt der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \sigma \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) Entscheide, ob die Gerade $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ parallel zur Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} h: \ \ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix} -23 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.03.2008, 17:18

n00pitz

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Ja hast recht. Hier ist natürlich die Koordinatenform stark im Vorteil.

bei a einfach einsetzen, also Punkt A: Ja, Punkt B: Nein

b) Schnittpunkt. Hier ist es auch einfacher, da man einfach:
x1=1+2t
x2=1+11t
x3=-1+t

in die Koordinatenform einsetzen kann, was ergibt für t= -1
und das einfach in die geraden Parametergleichung ergibt P(-1/-10/-2)

c) einfach gucken ob es einen schnittpunkt gibt, wenn nicht, dann MUSS die GErade parallel oder in der ebene liegen. Also falls es dann einen Abstand von der geraden zu Ebene gibt, muss sie parallel sein.

1. Schritt: r ergibt: false, d.h. kein Schnittpunkt, d.h. entweder parallel oder Gerade iin der Ebene liegend. Also:

2.Abstand: Dieser geht aber endlich mal mit der Parameterform der Ebene schneller smile

. Nämlich einfach den Betrag vom Ortsvektor gerade minus ortsvekror Ebene. Ergibt:
Wurzel aus(25+9+49) = 9,11

--> Das bedeutet, weil der Abstand ungleich 0 ist, dass die Gerade nicht in der Ebene liegt, also muss sie Parallel sein

Danke für die Aufgabe übrigends. War mein Rechenweg richtig, und der beste, bzw. optimalste^^?

19.03.2008, 17:38

tmo

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zu c) das geht einfacher: Wenn der Normalenvektor der Ebene orthogonal zu dem Richtungsvektor der Gerade ist, dann...

19.03.2008, 18:24

Rare676

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Zitat:

Diese Umwandlung geht trotzdem ziemlich schnell:
Ich mache das mal an einem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 2x+3y+4z-2=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt legst du einfach fest, das x=r und y=s sein sollen. ( Du kannst es auch anders festlegen).
Daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=-0,5r-0,75s+0,5 \end{eqnarray*}$

Daraus kannst du dann ganz einfach die Parameterform ablesen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,5 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0,5 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -0,75 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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