Rente berechnen

19.03.2008, 14:04

Schneekette

Rente berechnen

Könnt Ihr mir bitte bei folgender Aufgabe auf die Sprünge helfen?

Ein Betrieb gibt einem Angestellten als Abfindung eine 15 Jahre laufende nachschüssige Rente mit der Rate von 8000€. Die Jahresverzinsung beträgt 4,5%

a. Wie viele Jahre kann er eine nachschüssige Rate in Höhe von 9422 € beziehen?

b: Welche Rate kann er nachschüssig jährlich erhalten falls er eine Rente mit der Laufzeit 10 Jahre haben möchte.

Irgendwie bekomme ich den Ansatz nicht hin.

19.03.2008, 14:21

tigerbine

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RE: Rente berechnen
Dann würde ich als erstes mal die Formeln für die Nachschüssige Rente nachschlagen. Auch die Boardsuche sollte hier helfen.

19.03.2008, 14:29

Schneekette

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RE: Rente berechnen
$\begin{eqnarray*} Rn = r * (q^n -1 / q -1) \end{eqnarray*}$

Mit der Formel bekomme ich den Rentenendwert raus. In meinem Falle 166272,43€ wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber wie geht es weiter?

19.03.2008, 14:55

tigerbine

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RE: Rente berechnen

Zitat:

Original von Schneekette
Ein Betrieb gibt einem Angestellten als Abfindung eine 15 Jahre laufende nachschüssige Rente mit der Rate von 8000€. Die Jahresverzinsung beträgt 4,5%

Was ist der Barwert dieser Rente (Abdiskontieren mit den 4.5%). Oder eben den Endwert berechnen. Nun eben die Formel anders anwenden. Gesucht ist nun die Laufzeit.

Zitat:

a. Wie viele Jahre kann er eine nachschüssige Rate in Höhe von 9422 € beziehen?

Nun die Formel nochmals anders anwenden. Gesucht ist die Monatliche Rate.

Zitat:

b: Welche Rate kann er nachschüssig jährlich erhalten falls er eine Rente mit der Laufzeit 10 Jahre haben möchte.

Des Weiteren Formeleditor bzw. Latex verwenden.

19.03.2008, 15:02

Schneekette

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Tigerbine, danke für die Tipps, aber kannst Du bitte etwas ausführlicher werden? Du verwirrst mich Augenzwinkern

19.03.2008, 15:10

tigerbine

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RE: Rente berechnen
Rechnen musst Du schon selbst erstmal. Deine Formel

Zitat:

Original von Schneekette
$\begin{eqnarray*} R_n = R \cdot \frac{q^n -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

Nun eben erstmal für das erste Modell $\begin{eqnarray*} R_{15} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Dann lautet der Ansatz für a)

$\begin{eqnarray*} R_{15} = 9422 \cdot \frac{1.045^{n} -1}{1.045 -1} \end{eqnarray*}$

Für b) eben

$\begin{eqnarray*} R_{15} = R \cdot \frac{1.045^{10} -1}{1.045 -1} \end{eqnarray*}$

Bitte beachten, dass der Index von R aus dem ersten Modell stammt und nicht die Laufzeiten von a) oder b) widerspiegelt.

19.03.2008, 15:23

Schneekette

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RE: Rente berechnen

Zitat:

Original von tigerbine

Nun eben erstmal für das erste Modell $\begin{eqnarray*} R_{15} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Dann lautet der Ansatz für a)

$\begin{eqnarray*} R_{15} = 9422 \cdot \frac{1.45^n -1}{1.45 -1} \end{eqnarray*}$

Für b) eben

$\begin{eqnarray*} R_{15} = R \cdot \frac{1.45^{10} -1}{1.45 -1} \end{eqnarray*}$

Bitte beachten, dass der Index von R aus dem ersten Modell stammt und nicht die Laufzeiten von a) oder b) widerspiegelt.

Ich werde immer wirrer?!?! Zu Deiner ersten Formel, müsste q nicht 1.045 sein?

Und so hast Du in der ersten Formel gleich 2 Unbekannte. Wir kennen R15 nicht und die Laufzeit n auch nicht.

Oder meinst Du das ich für n "einfach" 15 einsetzten soll und erstmal R15 ausrechne, und dann mit eingesetztem Wert für R15 die Formel nach n auflöse?

19.03.2008, 15:25

tigerbine

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RE: Rente berechnen
Die Null füge ich noch ein. Ja, n=15 einsetzen, aber dann auch mit den 8000 als Rate.

19.03.2008, 15:32

Schneekette

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Okay ich habe Deine erste Formel genommen und R15 ausgerechnet (195827,34). Das ist die Rente die er bei 9422 € jährlich erhalten würde über einen Zeitraum von 15 Jahre. Da war aber so nicht in der Aufgabe nach gefragt. Denn da steht: Wie viele Jahre kann er eine nachschüssige Rate in Höhe von 9422 € beziehen?

Irgendwie drehe ich mich im Kreis

19.03.2008, 15:55

tigerbine

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Nein. Nein. Ich sagte, Du sollst es mit den Zahlen des ersten Modells rechnen.

15 Jahre, 8000€, 4.5% Zinsen. Was ist dann der Rentenendwert?

19.03.2008, 15:58

Schneekette

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Das hatte ich in meinem 2ten Post geschrieben:

$\begin{eqnarray*} Rn = r * (q^n -1 / q -1) \end{eqnarray*}$

Mit der Formel bekomme ich den Rentenendwert raus. In meinem Falle 166272,43€ wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber wie geht es weiter?

19.03.2008, 16:09

tigerbine

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Das sagte ich dann auch schon, wie es weiter geht. Angenommen, dein Wert ist richtig, habe gerade keinen TR zur Hand.

$\begin{eqnarray*} R_{15} = 166272.43 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 166272.43 = 9422 \cdot \frac{1.045^{n} -1}{1.045 -1} \end{eqnarray*}$

Damit nun eben n ausrechnen. Augenzwinkern

19.03.2008, 16:25

Schneekette

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Und genau so hatte ich es gemacht und bin auf 13,2778 Jahre gekommen. Angeblich sollen es aber nur 12 Jahre sein (Aussage Mathe Lehrer) Argh.

ich liste mal, vielleicht habe ich auch einen Gedankenfehler:

$\begin{eqnarray*} 166272.43 = 9422 \cdot \frac{1.045^{n} -1}{0.045} \end{eqnarray*}$ | : Durch 9422

$\begin{eqnarray*} \frac{166272.43}{9422} = \frac{1.045^{n} -1}{0.045} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 17,65 = \frac{1.045^{n} -1}{0.045} \end{eqnarray*}$ | * 0.045

$\begin{eqnarray*} 17,65 \cdot 0.045= 1.045^{n} -1 \end{eqnarray*}$ | +1

$\begin{eqnarray*} 0,79425 + 1= 1.045^{n} \end{eqnarray*}$ | LOG

$\begin{eqnarray*} log 1,79425 = log 1.045 * n \end{eqnarray*}$ | : log 1.045

$\begin{eqnarray*} \frac{log 1,79425}{log 1.045} = n \end{eqnarray*}$

Und damit komme ich auf 13, irgendwas......

verwirrt

19.03.2008, 16:30

tigerbine

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Ich habe das mal eben durch Excel laufen lassen, und komme auch auf 13, ebbes.

19.03.2008, 16:41

Schneekette

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JESUS, nun sag nicht ich habe die ganze Zeit über richtig gerechnet?

Ein Schulkollege hat in seiner Lösung auch den Rentenwert errechnet, und aus diesem den Rentenbarwert:

$\begin{eqnarray*} Barwert = \frac{Rentenwert}{q^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Barwert = \frac{166272,43}{1,045^15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Barwert = 85916,36 \end{eqnarray*}$

Diesen Barwert hat er dann in folgende Formel eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} Barwert * q^n = r * \frac {q^{n} -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

und kommt auf 11,92

Was ist den nun richtig?

19.03.2008, 19:44

tigerbine

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Ich schaue da nochmal drüber. Heute Nacht oder morgen Früh.

So long Wink

19.03.2008, 20:49

mYthos

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@..bine
Musst dir nicht den Kopf zerbrechen ... ich übernehm' volley Big Laugh

Ihr beide habt leider einen falschen Ansatz weiterverfolgt ... (sh. weiter unten)
_______

Am besten und sichersten ist es bei dieser Aufgabe, man setzt die Barwerte beider Renten gleich.
Über den Rentenendwert zu rechnen ist hier sehr kontraproduktiv, weil das Ende der anderen Rente nicht feststeht. Und wie man sieht, ist das auch gefährlich, weil ihr beide einen letalen Fehler dabei gemacht habt: Der Endwert (166272,43) der ersten Rente nach 15 Jahren ist keinesfalls gleich dem der zweiten Rente nach den gesuchten n Jahren. Wenn schon, hätte man bei der zweiten Rente diesen noch mit $\begin{eqnarray*} q^{15-n} \end{eqnarray*}$ multiplizieren müssen (warum?), was die Rechnung noch zusätzlich erschwert. Mit diesem falschen Ansatz kommt auch tatsächlich das falsche Resultat n = 13,28

a)

Es sei

q:=1,045
a:=8000
b:=9422

Die Barwerte (nachschüssige Auszahlungen) beider Renten sind gleichzusetzen (Zeitbezugspunkt am Beginn, "0", der Zeitlinie), wobei die Kenntnis des zahlenmäßigen Betrag des Barwertes [85916,36] unerheblich (und unnötig) ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{q} + ... + \frac{a}{q^{15}} = \frac{b}{q} + ... + \frac{b}{q^{n}} \end{eqnarray*}$

[Edit mY+: Schreibfehler korrigiert]

Reihen summieren, nach $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ umstellen, logarithmieren, -> n

Dann ist definitiv n = 12, und zwar äusserst genau!

Übrigens, wie man bei Rentenaufgaben richtig vorgeht, habe ich dir in deinem anderen Thread geschrieben:

Und noch ein Rentenklopfer

Was ist damit? (Bevor du ein neues Problem angehst, solltest du das alte lösen - oder wenigstens antworten ... und nicht einfach ohne Feedback stehen lassen, das ist ein Gebot der Höflichkeit.)

Übrigens: Was soll ein "Rentenklopfer" bedeuten??

b)

Funktioniert analog wie in a) und ist sogar noch einfacher.

c: Gesuchte Rate

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{q} + ... + \frac{a}{q^{15}} = \frac{c}{q} + ... + \frac{c}{q^{10}} \end{eqnarray*}$

Nach -> c auflösen

mY+

19.03.2008, 21:31

tigerbine

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Danke. Meine 13 ebbes nehme ich mittlerweile auch wieder zurück, da unterschiedliche Zeitpunkte verglichen wurden. Hammer

@ Schneekette:

Insofern hat der Vergleich über Barwerte den Vorteil, dass man eben diesen Fehler vermeidet, da alles auf den Zeitpunkt Null zurück gerechnet wird.

20.03.2008, 09:03

Schneekette

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Zitat:

Original von mYthos

Und noch ein Rentenklopfer

Was ist damit? (Bevor du ein neues Problem angehst, solltest du das alte lösen - oder wenigstens antworten ... und nicht einfach ohne Feedback stehen lassen, das ist ein Gebot der Höflichkeit.)

Sicher sollte ich erst die eine lösen bevor ich eine andere angehe, habe es allerdings etwas "eilig" im Moment. Habe hier einen Haufen Aufgaben und nur die beiden gepostet bei denen es hapert. Und ich wollte der Übersichtlichkeit halber das nicht in einen Post reinquetschen!

Und ein Rentenklopfer ist eine Rentenaufgabe die ich nicht lösen konnte Big Laugh

20.03.2008, 09:42

Schneekette

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Leider kann ich den von mir erstellten beitrag nicht mehr editieren, daher (leider) nochmal. Änderungen zum alten Beitrag sind in rot

[Edit mY+: Ersten Beitrag entfernt]

Danke Euch für die Antworten.

Ein kleines Verständnis Problem habe ich noch. Links von der Formel müsste ich wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{q} + \frac{a}{q^2} + \frac{a}{q^3}... \end{eqnarray*}$

rechen bis hoch zum 15ten Jahr, nur was mache ich auf der rechten Seite? Ich weiß ja garnicht bis zu welchem Jahr ich gehen muss.

Un könnt Ihr mir einen Tipp geben wie ich die linke Formel zusammenfassen kann? Die Rate könnte ich ja einfach mal die Laufzeit nehmen, dann hätte ich oben ein Ergebnis, nur wie fasse ich das unten zusammen? Geht das überhaupt ohne jedes "q" einzeln auszurechnen und dann zu addieren?

Und müsste das ganz rechts nicht statt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{q^n} \end{eqnarray*}$

so heissen:

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{q^n} \end{eqnarray*}$

?

21.03.2008, 11:41

mYthos

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Zum letzten: Ja, ein Schreibfehler, klar muss dort auch ein b stehen!
Zu deiner anderen Frage:

Rechts steht die Summe von n Gliedern, daher kannst du dort die allgemeine Summenformel (statt für eine bestimmte Zahl eben für das allgemeine n) anschreiben. Du gehst eben bis zum n-ten Jahr.

Die Summenformel (f.d. geometrische Reihe) lautet

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1} \ \ a_1 \ldots \ \text{Anfangs-, erstes Glied} \end{eqnarray*}$

Hier fängst du mit dem kleinsten Anfangsglied an:

$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{a}{q^{15}} \end{eqnarray*}$ , n = 15; und rechts ist das Anfangsglied

$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{a}{q^{n}} \end{eqnarray*}$ , dort werden dann n Glieder summiert.

mY+

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