Komplizierte Grenzwertberechnung

19.03.2008, 18:38

Matheanfaenger

Komplizierte Grenzwertberechnung

Wie könnte man diese Aufgabe lösen?

Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} c \in [a,b] \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}\left( inf\{f(x):c \leq x \leq c+h\}\right)=f(c) \end{eqnarray*}$

19.03.2008, 19:39

system-agent

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Ich schreib einfach mal was hin:
Sei $\begin{eqnarray*} 0<\delta<h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig, das heisst $\begin{eqnarray*} |f(c)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in[c,\delta] \end{eqnarray*}$ . Nun wo liegt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für solch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

19.03.2008, 19:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von system-agent
Ich schreib einfach mal was hin:
Sei $\begin{eqnarray*} 0<\delta<h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig, das heisst $\begin{eqnarray*} |f(c)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in[c,\delta] \end{eqnarray*}$ . Nun wo liegt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für solch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Da gibt es auch eine Quantorenreihenfolge, die du hier in keinster Weise beachtest. Ohne die geht es aber absolut nicht.

@Matheanfaenger
Der Tipp von system-agent sollte wahrscheinlich ungefähr so aussehen: Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} f(c)-\varepsilon\leq f(x)\leq f(c)+\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c\leq x\leq c+\delta \end{eqnarray*}$ . Und nun kannst du zum Infimum übergehen - natürlich mit entsprechender Begründung für die Abschätzung, die du dann erhältst. Anschließend musst du noch das $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ mit ins Spiel bringen.

19.03.2008, 19:55

system-agent

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Quantoren durch Prosa ersetzt Big Laugh

20.03.2008, 12:37

Matheanfaenger

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Danke für den Tipp. Ich habs geschafft, das zu zeigen. Big Laugh

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