f(A U B) = f(A) U f(B)

19.09.2005, 15:43

Marcyman

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f(A U B) = f(A) U f(B)

Sei f eine (eindeutige) Abbildung von X nach Y, und A, B Teilmengen aus X.

Man soll zeigen, dass dann f(A U B) = f(A) U f(B) gilt. In dem Beweis, den unser Übungsleiter uns gegeben hat, kommt dann der Schritt
f(x) e f(A U B) => x e (A U B) vor. Hier wurde ich stutzig, da f ja durchaus nicht injektiv zu sein brauch, also kann es noch ein x e X\(A U B) geben, dem ebenfalls ein f(x) e f(A U B) zugeordnet ist.

Nun hat mich jemand auf den Gedanken gebracht, dass der obige Schritt gilt, wenn man die rechte Seite durch
"es existiert ein x e (A U B) mit f(x) e f(A U B)"
ersetzt und dann kann man den Beweis locker runterschreiben. Und bevor ich mich jetzt daran festhalte würde ich nochmals eine Bestätigung brauchen, ich hatte nämlich auch beim ersten fest gedacht ich wäre im Recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke!

Achja, man sollte auch zeigen dass f(f^(-1)(B)) Teilmenge von B ist, wobei B Teilmenge von der Zielmenge Y ist. Nach meiner Argumentation sind diese Mengen gleich. Kann das stimmen? Wie ist das für A Teilmenge von f^(-1)(f(A)) ?

19.09.2005, 16:26

AD

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RE: f(A U B) = f(A) U f(B)

Zitat:

Original von Marcyman
In dem Beweis, den unser Übungsleiter uns gegeben hat, kommt dann der Schritt
f(x) e f(A U B) => x e (A U B) vor. Hier wurde ich stutzig, da f ja durchaus nicht injektiv zu sein brauch, also kann es noch ein x e X\(A U B) geben, dem ebenfalls ein f(x) e f(A U B) zugeordnet ist.

Vollkommen richtig, dass du da stutzig geworden bist - so kann man wirklich nicht argumentieren.

Zitat:

Original von Marcyman
wenn man die rechte Seite durch
"es existiert ein x e (A U B) mit f(x) e f(A U B)"
ersetzt und dann kann man den Beweis locker runterschreiben.

Du meinst das Richtige, dennoch ist es so unsauber: x ist ja laut linker Seite bereits festgelegt! Besser ist es so:

$\begin{eqnarray*} y \in f(A \cup B) \quad\Rightarrow\quad \exists x\in (A \cup B): \; f(x)=y \end{eqnarray*}$

EDIT1:

Zitat:

Original von Marcyman
Achja, man sollte auch zeigen dass f(f^(-1)(B)) Teilmenge von B ist, wobei B Teilmenge von der Zielmenge Y ist. Nach meiner Argumentation sind diese Mengen gleich. Kann das stimmen?

Nur dann, wenn f surjektiv ist.

Zitat:

Original von Marcyman
Wie ist das für A Teilmenge von f^(-1)(f(A)) ?

Hier hängt's von der Injektivität von f ab.

EDIT2: Oh Sorry, EDIT1 hätte ich mir sparen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.09.2005, 16:28

Tobias

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RE: f(A U B) = f(A) U f(B)

Zitat:

Original von Marcyman
Man soll zeigen, dass dann f(A U B) = f(A) U f(B) gilt. In dem Beweis, den unser Übungsleiter uns gegeben hat, kommt dann der Schritt
f(x) e f(A U B) => x e (A U B)

Stimmt. Dies ist ohne ein "es existiert ein x" eindeutig falsch. Man darf aber ruhig diese Existenz voraussetzen ohne den Beweis einzuschränken.

Zitat:

Original von Marcyman
Achja, man sollte auch zeigen dass f(f^(-1)(B)) Teilmenge von B ist, wobei B Teilmenge von der Zielmenge Y ist. Nach meiner Argumentation sind diese Mengen gleich.

Nein. Nimm mal an f sei nicht surjektiv. Dann existiert ein y aus Y, zu dem es kein x aus X gibt mit y = f(x). Setze nun B := {y}. Was ist dann f(f^(-1)(B))?

Zitat:

Original von Marcyman
Wie ist das für A Teilmenge von f^(-1)(f(A)) ?

Setze eine Menge A := {x} voraus mit f(A) = {f(x)}. Ist dann
f^(-1)({f(x)}} = {x, y} , x != y möglich?

19.09.2005, 17:56

Marcyman

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RE: f(A U B) = f(A) U f(B)
Puh ganz schön nervtötend diese Aufgaben, komme gut durcheinander Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Nimm mal an f sei nicht surjektiv. Dann existiert ein y aus Y, zu dem es kein x aus X gibt mit y = f(x). Setze nun B := {y}. Was ist dann f(f^(-1)(B))?

Da es diesem y kein x zugeordnet wird, hat auch B kein Urbild, also ist f^(-1)(B) leer. Dann ist auch f(f^(-1)(B)) leer ... ? Falls richtig, wie beweise ich dann die Inklusion? Gleichheit müsste aus Surjektivität folgen... ?

Zitat:

Setze eine Menge A := {x} voraus mit f(A) = {f(x)}. Ist dann
f^(-1)({f(x)}} = {x, y} , x != y möglich?

Intuitiv, wenn f nicht injektiv ist, dann schon.

Danke für die Hilfe bis hierhin!

01.11.2005, 13:19

The_Lion

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Hallo,
kann man für f(AuB) = f(A) u f(B) nicht auch so argumentieren?

f(A u B) = { f(x) | x€ A u B }
={ f(x) | x€ A oder x€ B}
={ f(x) | x€A } u { f(x) | x€ B }
=f(A) u f(B)

wenn ich diesen Beweis analog auf $\begin{eqnarray*} f(A\cap B)=f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ übertragen würde, dann käme auch hierfür die Gleichheit heraus, was jedoch nicht so ist, im allgemeinen. Was gibt es hierfür genau zu beachten?

Sollte man solche Beweise immer in der Form: "x€ A u B => es gibt .... " führen ?

01.11.2005, 14:12

Leopold

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Das dritte Gleichheitszeichen ist nicht ganz trivial. Warum gilt das? Wie weist man die entsprechende Mengengleichheit nach? Und warum gilt das nicht mehr unbedingt, wenn man $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ersetzt?

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01.11.2005, 14:22

Poff

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Ich denke das Problem ist, dass in beiden im Zirkelschluss die z.z.
Behauptung mit einfließt. (2. auf 3. Zeile)

Beim ersten fällts nicht weiter auf weil das Resultat stimmt.

Edit: ... zu The_Lion,
Leopolds Beitrag hatte ich noch garnicht gesehen

01.11.2005, 14:43

The_Lion

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@Leopold:

Warum gilt das? Ich dachte anfangs erst, dass das gilt, aufgrund der Äquivalenzen der Aussagenlogik und der Mengenlehre, jedoch wusste ich, dass es beim Schnitt nicht mehr hinhauen dürfte, aber das tat es trotzdem, also ist dieses Beweismethode wohl mit Vorsicht anzuweden.

Um zwei Mengengleichheiten zu zeigen, muss man beide Inklusionen zeigen.
Das habe ich schon gemacht, jedoch möchte ich nur gerne wissen, warum das bei dieser Methode, die ich in meinem letzten Post (also von der einen Menge auf die andere schließen) nicht so geht.

ist das dritte gleichheitszeichen deshalb nicht trivial, da in der Menge { f(x) | x€ A oder x€ B} derSchnitt von A und B berückichtigt werden muss ?

01.11.2005, 14:52

Leopold

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Argumentiere mit größerer Sorgfalt:

Begründe, warum

$\begin{eqnarray*} \left\{ f(x) \left| \, x \in A \ \text{oder} \ x \in B \right. \right\} \subseteq \left\{ f(x) \left| \, x \in A \right. \right\} \cup \left\{ f(x) \left| \, x \in B \right. \right\} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \left\{ f(x) \left| \, x \in A \right. \right\} \cup \left\{ f(x) \left| \, x \in B \right. \right\} \subseteq \left\{ f(x) \left| \, x \in A \ \text{oder} \ x \in B \right. \right\} \end{eqnarray*}$

gelten. Du behauptest das nämlich durch die hingeschriebene Gleichheit, ohne es wirklich nachzuweisen.

Und wenn du dann das oder durch ein und ersetzt, ja dann, aber dann ...

01.11.2005, 15:11

Poff

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={ f(x) | x€ A oder x€ B}
={ f(x) | x€A } u { f(x) | x€ B }

ohne genaueres folgt erstmal nur
{ f(x) | x€ A oder x€ B} c= { f(x) | x€A } u { f(x) | x€ B }

und genau das gilt auch bei
{ f(x) | x€ A und x€ B} c= { f(x) | x€A } n { f(x) | x€ B }
nur eben die Umkehrung nicht.

Bei steifen, formalem Umsetzen muss man sehr vorsichtig sein,
dass man nicht irgendwo eine Voraussetzung übersieht,
bzw eine Umformung vornimmt die so garnicht zulässig ist.

01.11.2005, 15:13

The_Lion

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ich gehe erstmal an die Aufgabe , ob $\begin{eqnarray*} f(A\cap B)=f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} Sei\ y\in f(A\cap B) \\ => \exists x\in (A\cap B):y=f(x) \\ => [\exists x\in A: y=f(x)] und [\exists x\in B: y=f(x)] \\ =>y\in f(A)\ und\ y\in f(B) \\ => y\in [f(A)\cap f(B)] \end{eqnarray*}$

die andere Richtung habe ich genaus in umgekehrter Reihenfolge gezeigt. Ich weiss, dass diese Gleichheit nur im Falle der Injektivität gilt, aber ich begreif das momentan nicht so ganz.

01.11.2005, 15:23

Poff

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1.Fall f(A n B) <> {}, dann existiert x aus (A n B) mit ...
2.Fall f(A n B) = {} ....

01.11.2005, 15:36

The_Lion

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Meinst Du, ich soll ne Fallunterscheidung machen ?

01.11.2005, 16:03

Poff

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Nein vergiss das, das war Unsinn. Ich hatte ein Gegenbeispiel im
Kopf für die Rückrichtung, verdrehter Weise hat sich das dann so geäußert . Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2005, 16:17

Poff

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Rückrichtung

Sei y aus (f(A) n f(B)), dann ist y in f(A) und in f(B),
also existiert x aus A mit f(x) = y und z aus B mit f(z) = y.

für x = z !! folgt x,z in (A n B) und y in f(A n B)
für x <> z lässt sich keine Entscheidung treffen.

01.11.2005, 18:34

The_Lion

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ok, danke. das hängt auch unmittelbar mit der Injektivität zusammen.
injektiv , daraus folgt dann, dass in deinem Bsp x = z folgen muss.

23.10.2006, 19:27

cybwer

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RE: f(A U B) = f(A) U f(B)
Wie kann man den beweis jetzt locker runterschreiben. ich verstehs nicht. gebt mir bitte einen tip

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