Partielle Ableitungen

20.03.2008, 10:05

mpe

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Partielle Ableitungen

Guten Morgen,
habe hier folgende Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} z=xye^{x^2y+xy^2} \end{eqnarray*}$

Zuerst die Gradienten bestimmen.

Bin da auf:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= ye^{x^2y+xy^2}+xye^{x^2y+xy^2}2xy+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial y}= xe^{x^2y+xy^2}+xye^{x^2y+xy^2}2xy+x^2 \end{eqnarray*}$

gekommen. Jetzt wollte ich noch ein bisschen vereinfachen. das e^(...) und das y bzw. das x herausziehen.

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= ye^{x^2y+xy^2}(1+2x^2y)+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial y}= xe^{x^2y+xy^2}(1+2x^2y)+x^2 \end{eqnarray*}$

Bin mir da nicht sicher, weil wenn ich es mal ins Derive eingebe erscheint folgendes:

e^(x·y·(x + y))·(x·y^2·(2·x + y)·LN(e) + y)

20.03.2008, 10:12

klarsoweit

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RE: Partielle Ableitungen
unglücklich

unglücklich

Das kommt davon, wenn man die Klammersetzung vernachlässigt.

20.03.2008, 10:15

mpe

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RE: Partielle Ableitungen

Zitat:

Original von klarsoweit
unglücklich

unglücklich

Das kommt davon, wenn man die Klammersetzung vernachlässigt.

d.h. ?

20.03.2008, 10:25

klarsoweit

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RE: Partielle Ableitungen
Meine Güte. Muß man denn allles selbst machen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= ye^{x^2y+xy^2}+xye^{x^2y+xy^2} \cdot (2xy+y^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial y}= xe^{x^2y+xy^2}+xye^{x^2y+xy^2} \cdot (2xy+x^2) \end{eqnarray*}$

20.03.2008, 11:09

mpe

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$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= ye^{x^2y+xy^2}+2x^2y^2e^{x^2y+xy^2}+xy^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial y}= xe^{x^2y+xy^2}+2x^2y^2e^{x^2y+xy^2}+yx^3 \end{eqnarray*}$

20.03.2008, 12:02

klarsoweit

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Was soll den das jetzt? verwirrt

verwirrt

Jetzt habe ich dir schon die partiellen Ableitungen mit richtiger Klammersetzung hingeschrieben und du schreibst kommentarlos einen anderen Schrott dahin. böse

böse

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20.03.2008, 12:08

mpe

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habe hinten noch ausmultipliziert!

20.03.2008, 12:51

klarsoweit

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Distributivgesetz (7. Schuljahr?):

$\begin{eqnarray*} a \cdot ( b + c) = a \cdot b + a \cdot c \end{eqnarray*}$

20.03.2008, 13:05

mpe

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Sorry, hatte ich natürlich auf dem Zettel stehen. Wohl vergessen bzw. übersehen.

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= ye^{x^2y+xy^2}+e^{x^2y+xy^2}2x^2y^2+e^{x^2y+xy^2}xy^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= e^{x^2y+xy^2}(y+2x^2y^2+xy^3) \end{eqnarray*}$

Jetzt soll das ganze in faktorisierter Form noch einmal abgeleitet werden. Nur für fxx und fxy

Ich fange mal an und stelle später meine Lösung hier vor.

Aber danke erst einmal für deine Nerven. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.03.2008, 15:26

mpe

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$\begin{eqnarray*} fx=ye^{x^2y+xy^2}+xye^{x^2y+xy^2} \cdot (2xy+y^2) \end{eqnarray*}$

1.Schritt ableiten
$\begin{eqnarray*} fxx=0*e^{x^2y+xy^2}+y*e^{x^2y+xy^2}(2xy+y^2)+e^{x^2y+xy^2}(4xy^2+y^3)+e^{x^2y+xy^2}(2x^2y^2+xy^3) \end{eqnarray*}$

2. Schritt zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} fxx=e^{x^2y+xy^2}(2xy^2+y^3)+e^{x^2y+xy^2}(4xy^2+y^3)+e^{x^2y+xy^2}2x^2y^2+xy^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fxx=e^{x^2y+xy^2}(6xy^2+2y^3+2x^2y^2+xy^3) \end{eqnarray*}$

3. richtig?

20.03.2008, 15:39

klarsoweit

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Ich hätte ja diese Form:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= ye^{x^2y+xy^2}+e^{x^2y+xy^2}2x^2y^2+e^{x^2y+xy^2}xy^3 \end{eqnarray*}$

für die Ableitung bevorzugt. Aber egal. In jedem Fall hast du beim letzten Summanden den Exponenten der e-Funktion nicht abgeleitet.

20.03.2008, 16:13

mpe

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Aber dann muss man ja insgesamt 3 mal die Produktregel anwenden, oder nicht?
Dann habe ich dieses hier raus:

$\begin{eqnarray*} fxx=e^{x^2y+xy^2}(6xy^2+2y^3+2y^2+2x^2y^2+2xy+2x^2y^4) \end{eqnarray*}$

20.03.2008, 17:47

klarsoweit

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Entschuldigung, ich hatte glatt das falsche kopiert. Ich meine natürlich:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F} {\partial x}= e^{x^2y+xy^2}(y+2x^2y^2+xy^3) \end{eqnarray*}$

Ob dein Ergebnis richtig ist, kann ich nicht sagen. Da müßte ich nachrechnen und da fehlt mir jetzt die Motivation. smile

smile

21.03.2008, 10:57

Leopold

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Mein CAS liefert:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \left( xy^5 + 4x^2 y^4 + 4x^3 y^3 + 2y^3 + 6xy^2 \right) \operatorname{e}^{x^2 y + xy^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder irrt mein CAS (kam auch schon vor) oder du.

21.03.2008, 11:50

Gump

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Hallo,

ich komme auf das selbe Ergebnis wie Leopold.

Gruß Gump

21.03.2008, 13:39

mpe

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Also ich habe es mal im Derive und im MuPAD eingegeben:

MupAD:

diff(e^(x^2*y+x*y^2)*(y+2*x^2*y^2+x*y^3), x)

$\begin{eqnarray*} =e^{x^2*y + x*y^2}*(y^3 + 4*x*y^2) + e^{x^2*y + x*y^2}*ln(e)*(y^2 + 2*x*y)*(2*x^2*y^2 + x*y^3 + y) \end{eqnarray*}$

Derive 6
d/dx [ e^(x^2y+xy^2)(y+2x^2y^2+xy^3)]

$\begin{eqnarray*} =e^{x^2y+xy^2}(4xy^2+y^3)+y^2e^{x^2y+xy^2}(2x+y)(2x^2y+xy^2+1) \end{eqnarray*}$

Kenne CAS nicht, aber normalerweise müsste die beiden Programme doch auch richtige Ergebnisse erzielen. Oder haben die vielleicht andere Rechenalgorithmen und fassen Klammern/Terme anders zusammen?

21.03.2008, 14:43

atze

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Wink

21.03.2008, 14:53

mpe

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Zitat:

Original von atze
Wink

Wink

???

Habe es gerade noch einmal in aller Ruhe nachgerechnet.

Habe sofort am Anfang einen Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} y+2x^2y^2+xy^3 \end{eqnarray*}$ nach x ableitet hatte ich erst 4xy+y^3 raus. Hatte das y^2 unterschlagen. Jetzt passt es.

Jetzt nur noch nach fxy ableiten.

Ich bedanke mich aber schon einmal bei allen, die mir bei diesem Problem geholfen haben.

Frohe Ostern Wink

Wink

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