Konvergenzradius von Potenzreihe + allgemeine Grenzwert-Fragen

20.03.2008, 14:02

outlaw

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Konvergenzradius von Potenzreihe + allgemeine Grenzwert-Fragen

Die Aufgabe:

Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~n^{2} \cdot x^{n} , x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Irgendwie weiß ich nicht wie ich anfangen soll;
Ich denke mal das hat was damit zu tun, dass ich die Definition vom Konvergenzradius
nicht verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} R := sup{ \mid z-z(null) \mid ; \sum_{n=0}^\infty ~a(n)(z-z(null)^{n} ist konvergent } \end{eqnarray*}$

Was ich bis jetzt herausgefunden habe is folgendes:

Für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{n=1}^\infty ~n^{2} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
und
Für x<1 : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{n=1}^\infty ~n^{2} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$

Ich will nicht, dass mir jemand die Aufgabe vorrechnet, aber ich hoffe mir kann jemand helfen die Aufgabe zu verstehen.
Vielleicht gibt es ja noch eine besser verständliche Definition?
Lesen2

Lesen2

20.03.2008, 14:06

system-agent

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihe

Zitat:

Original von outlaw

$\begin{eqnarray*} R := sup{ \mid z-z(null) \mid ; \sum_{n=0}^\infty ~a(n)(z-z(null)^{n} ist konvergent } \end{eqnarray*}$

Das ist lediglich die Definition soweit ich das erkennen kann.

Nutze den Satz von Cauchy-Hadamard:
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$

20.03.2008, 14:31

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihe

Zitat:

Original von outlaw
Für x<1 : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{n=1}^\infty ~n^{2} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$

Das ist ja interessant. Was ist denn für x=0 ?

20.03.2008, 14:48

outlaw

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von outlaw
Für x<1 : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{n=1}^\infty ~n^{2} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$

Das ist ja interessant. Was ist denn für x=0 ?

ups, na das geht wohl eher gegen null Ups

Ups

Für x=0 wäre dann nur n² entscheidend, wobei das ja auch 0 wird.

Also Cauchy-Hadamard hat mir schon etwas weitergeholfen;
nur das ich das richtig verstehe, ich nehme das sup von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$
und mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist meine Potenzreihe oder nur das $\begin{eqnarray*} x^{2} \cdot x^n \end{eqnarray*}$ ?

Sorry für diese warscheinlich banalen Fragen, aber ich studier eigentlich Physik (Lieblingsausrede xD)

20.03.2008, 14:53

outlaw

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ah moment, wieder mal ein peinlicher Moment;

ich nehme den "lim superior"

20.03.2008, 14:54

system-agent

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Ganz korrekt:
Die Formel die ich angegeben habe ist gültig für eine Potenzreihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Das heisst bei dir ist $\begin{eqnarray*} a_n=n^2 \end{eqnarray*}$ .

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20.03.2008, 14:56

outlaw

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Hat eigentlich mal jemand untersucht, ob dies das Forum mit den schnellsten Antwort-Zeiten ist? Echt unglaublich!

20.03.2008, 15:06

outlaw

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Ist das richtig, dass der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup \sqrt[n]{|a_n|}= 1 \end{eqnarray*}$ ist?
also auch R=1 ?
oder hab ich da was mit dem lim sup verpasst?

20.03.2008, 15:14

system-agent

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Sehe ich genauso wie du Freude

Freude

Man sieht auch dass $\begin{eqnarray*} b_n:=\sqrt[n]{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergent ist, dann kann man sowieso den $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ vergessen...

20.03.2008, 19:45

outlaw

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Ich hab den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} b_n:=\sqrt[n]{n^2} \end{eqnarray*}$ jetzt aber "nur" experimentell mit meinem Taschenrechner herausgefunden.
Da ich in meinen Klausuren aber keinen Taschenrechner benutzen darf,
würd ich gern wissen, wie ich den Grenzwert berechne?

Da muss es doch bestimmt irgendeinen Satz geben der mir da weiterhilft verwirrt

verwirrt

20.03.2008, 20:28

tmo

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es reicht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt[n]{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert. Warum?

Dazu kannst du so vorgehen:

Du setzt $\begin{eqnarray*} a_n = 1 + b_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = (1+b_n)^n \end{eqnarray*}$ .

Folgere nun mit der bernoullischen Ungleichung, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

20.03.2008, 20:41

system-agent

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Oder auch mit:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^2}=\exp\left(\frac{1}{n}\log(n^2)\right)=\exp\left(\frac{2\log(n)}{n}\right) \end{eqnarray*}$

20.03.2008, 22:00

outlaw

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Zitat:

Original von system-agent
Oder auch mit:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^2}=\exp\left(\frac{1}{n}\log(n^2)\right)=\exp\left(\frac{2\log(n)}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Bernoulli fand ich da schon naheliegender ^^

20.03.2008, 22:40

tmo

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Hast du den Beweis denn jetzt geführt?

wenn ja, kannst du ihn noch hier posten, bitte?

21.03.2008, 10:40

Leopold

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Und warum nicht einfach das Quotientenkriterium anwenden? Für eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} p_n \end{eqnarray*}$ aus Gliedern $\begin{eqnarray*} p_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ sagt eine einfache, hier ausreichende Variante:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{p_{n+1}}{p_n} \right| < 1 \ \ \Rightarrow \ \ \text{absolute Konvergenz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(**)} \ \ \ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{p_{n+1}}{p_n} \right| > 1 \ \ \Rightarrow \ \ \text{Divergenz} \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze man $\begin{eqnarray*} p_n = n^2 x^n \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist die gegebene Reihe offenbar konvergent. Und für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ berechnet man

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{p_{n+1}}{p_n} \right| = \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) |x| \to |x| \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{eqnarray*}$

Ist also nun $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ , so konvergiert gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ die Reihe (sogar absolut), ist dagegen $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ , so divergiert sie gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(**)} \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius.

EDIT von therisen: $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ verbessert: ° funktioniert nicht. Ich habe es durch ** ersetzt, man könnte aber auch \circ nehmen: $\begin{eqnarray*} ^\circ \end{eqnarray*}$

22.03.2008, 13:52

outlaw

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Zitat:

Original von tmo
Hast du den Beweis denn jetzt geführt?

wenn ja, kannst du ihn noch hier posten, bitte?

Also, es hat etwas länger gedauert, bis ich mich wieder mit Mathe beschäftigt hab.
Wenn Familie zu Besuch ist, mach ich immer lieber einfachere Sachen, weil man
eh alle 2min unterbrochen wird.

Also ich habs jetzt mal mit der Bernoulli Ungleichung versucht:
$\begin{eqnarray*} (1+ x)^{n} \geq 1+ nx \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = (1+ b_{n}) \geq 1+ nb_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}\leq \frac{\sqrt{n}-1 }{n} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=1+b_{n} \end{eqnarray*}$ ist somit 1

22.03.2008, 14:17

outlaw

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Zur Übung wollte ich jetzt nochmal den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wieder mit Bernoulli:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}:=1+x_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=(1+x_{n})^{n}\geq 1+nx_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n}\leq \frac{n-1 }{n}=1 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

22.03.2008, 14:42

tmo

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt{n}} \cdot \sqrt[n]{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Die Wurzel habe ich doch nicht aus Spaß hinzugefügt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eben so, dass es klappt.

Dein Beweis ist soweit richtig, nur hast du das n im Exponent vergessen.
Weiterhin solltest du noch schnell begründen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

edit:
Deine Schreibweise gefällt mir auch nicht ganz:

Zitat:

Original von outlaw
$\begin{eqnarray*} a_{n}=1+b_{n} \end{eqnarray*}$ ist somit 1

Zitat:

Original von outlaw
$\begin{eqnarray*} x_{n}\leq \frac{n-1 }{n}=1 \end{eqnarray*}$

du kannst schreiben $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n \to 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{n-1 }{n}=1 \end{eqnarray*}$ ist schlicht und einfach falsch.

22.03.2008, 16:50

outlaw

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Vielen Dank für die Hinweise!

22.03.2008, 16:53

tmo

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Zitat:

Original von outlaw
Zur Übung wollte ich jetzt nochmal den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wieder mit Bernoulli:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}:=1+x_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=(1+x_{n})^{n}\geq 1+nx_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n}\leq \frac{n-1 }{n}=1 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

ist dir auch klar, dass dieser weg nicht zum ziel führt? das habe ich vielleicht nicht deutlich genug ausgedrückt.

23.03.2008, 00:26

outlaw

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von outlaw
Zur Übung wollte ich jetzt nochmal den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wieder mit Bernoulli:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}:=1+x_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=(1+x_{n})^{n}\geq 1+nx_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n}\leq \frac{n-1 }{n}=1 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

ist dir auch klar, dass dieser weg nicht zum ziel führt? das habe ich vielleicht nicht deutlich genug ausgedrückt.

Nein das war mir nicht klar; wie mach ich es dann? verwirrt

verwirrt

23.03.2008, 00:31

tmo

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das habe ich doch oben schon geposted. mit den grenzwertsätzen.

25.03.2008, 18:24

outlaw

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also mit deinem Tipp, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt{n} } \cdot \sqrt[n]{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ ist, war es dann auch garnicht mehr so schwer.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\sqrt{n} } = \lim_{n \to \infty}n^{\frac{1}{2n}}=1 \end{eqnarray*}$

also ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} =1 \end{eqnarray*}$

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