Konvergenzradius von Potenzreihe + allgemeine Grenzwert-Fragen

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outlaw Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius von Potenzreihe + allgemeine Grenzwert-Fragen
Die Aufgabe:

Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:




Irgendwie weiß ich nicht wie ich anfangen soll;
Ich denke mal das hat was damit zu tun, dass ich die Definition vom Konvergenzradius
nicht verstanden habe.



Was ich bis jetzt herausgefunden habe is folgendes:

Für : =
und
Für x<1 : =


Ich will nicht, dass mir jemand die Aufgabe vorrechnet, aber ich hoffe mir kann jemand helfen die Aufgabe zu verstehen.
Vielleicht gibt es ja noch eine besser verständliche Definition?
Lesen2
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihe
Zitat:
Original von outlaw




Das ist lediglich die Definition soweit ich das erkennen kann.

Nutze den Satz von Cauchy-Hadamard:
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihe
Zitat:
Original von outlaw
Für x<1 : =

Das ist ja interessant. Was ist denn für x=0 ?
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihe
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von outlaw
Für x<1 : =

Das ist ja interessant. Was ist denn für x=0 ?


ups, na das geht wohl eher gegen null Ups

Für x=0 wäre dann nur n² entscheidend, wobei das ja auch 0 wird.


Also Cauchy-Hadamard hat mir schon etwas weitergeholfen;
nur das ich das richtig verstehe, ich nehme das sup von
und mein ist meine Potenzreihe oder nur das ?

Sorry für diese warscheinlich banalen Fragen, aber ich studier eigentlich Physik (Lieblingsausrede xD)
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

ah moment, wieder mal ein peinlicher Moment;

ich nehme den "lim superior"
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz korrekt:
Die Formel die ich angegeben habe ist gültig für eine Potenzreihe


Das heisst bei dir ist .
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Hat eigentlich mal jemand untersucht, ob dies das Forum mit den schnellsten Antwort-Zeiten ist? Echt unglaublich!
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das richtig, dass der ist?
also auch R=1 ?
oder hab ich da was mit dem lim sup verpasst?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich genauso wie du Freude

Man sieht auch dass konvergent ist, dann kann man sowieso den vergessen...
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab den Grenzwert von jetzt aber "nur" experimentell mit meinem Taschenrechner herausgefunden.
Da ich in meinen Klausuren aber keinen Taschenrechner benutzen darf,
würd ich gern wissen, wie ich den Grenzwert berechne?

Da muss es doch bestimmt irgendeinen Satz geben der mir da weiterhilft verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

es reicht zu zeigen, dass gegen 1 konvergiert. Warum?

Dazu kannst du so vorgehen:

Du setzt . Dann ist .

Folgere nun mit der bernoullischen Ungleichung, dass eine Nullfolge ist.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Oder auch mit:
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Oder auch mit:

Bernoulli fand ich da schon naheliegender ^^
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du den Beweis denn jetzt geführt?

wenn ja, kannst du ihn noch hier posten, bitte?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum nicht einfach das Quotientenkriterium anwenden? Für eine Reihe aus Gliedern sagt eine einfache, hier ausreichende Variante:





Und jetzt setze man . Für ist die gegebene Reihe offenbar konvergent. Und für berechnet man



Ist also nun , so konvergiert gemäß die Reihe (sogar absolut), ist dagegen , so divergiert sie gemäß .
Also ist der Konvergenzradius.


EDIT von therisen: verbessert: ° funktioniert nicht. Ich habe es durch ** ersetzt, man könnte aber auch \circ nehmen:
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Hast du den Beweis denn jetzt geführt?

wenn ja, kannst du ihn noch hier posten, bitte?


Also, es hat etwas länger gedauert, bis ich mich wieder mit Mathe beschäftigt hab.
Wenn Familie zu Besuch ist, mach ich immer lieber einfachere Sachen, weil man
eh alle 2min unterbrochen wird.

Also ich habs jetzt mal mit der Bernoulli Ungleichung versucht:


=>



Daraus folgt, dass eine Nullfolge ist.

ist somit 1
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Übung wollte ich jetzt nochmal den Grenzwert von berechnen.

Wieder mit Bernoulli:







Ist das soweit richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »



Die Wurzel habe ich doch nicht aus Spaß hinzugefügt Augenzwinkern Eben so, dass es klappt.

Dein Beweis ist soweit richtig, nur hast du das n im Exponent vergessen.
Weiterhin solltest du noch schnell begründen, dass gilt.

edit:
Deine Schreibweise gefällt mir auch nicht ganz:
Zitat:
Original von outlaw
ist somit 1

Zitat:
Original von outlaw


du kannst schreiben oder .

Aber oder ist schlicht und einfach falsch.
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hinweise!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von outlaw
Zur Übung wollte ich jetzt nochmal den Grenzwert von berechnen.

Wieder mit Bernoulli:







Ist das soweit richtig?


ist dir auch klar, dass dieser weg nicht zum ziel führt? das habe ich vielleicht nicht deutlich genug ausgedrückt.
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Zitat:
Original von outlaw
Zur Übung wollte ich jetzt nochmal den Grenzwert von berechnen.

Wieder mit Bernoulli:







Ist das soweit richtig?


ist dir auch klar, dass dieser weg nicht zum ziel führt? das habe ich vielleicht nicht deutlich genug ausgedrückt.


Nein das war mir nicht klar; wie mach ich es dann? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

das habe ich doch oben schon geposted. mit den grenzwertsätzen.
outlaw Auf diesen Beitrag antworten »

also mit deinem Tipp, dass ist, war es dann auch garnicht mehr so schwer.



also ist auch
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