Füllhöhe einer halbvollen Vase

20.03.2008, 16:24

Jin

Füllhöhe einer halbvollen Vase

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)= 2.5 x^{2} \cdot e^{-0.5x}+2 \end{eqnarray*}$
beschreibt von x=0 bis x=22 das Profil einer Vase. Gesucht ist die Füllhöhe, bei der die Vase halb voll gefüllt ist.

mir ist klar dass

$\begin{eqnarray*} \pi \int_{0}^{h}~f(x)^{2}~dx =0.5 \pi \int_{0}^{22}~f(x)^{2}~dx=624.85 \end{eqnarray*}$

sein muss, was mich auf die Idee gebracht hat, die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(h)=\pi \int_{0}^{h}~f(x)^{2}~dx \end{eqnarray*}$
mit der Gerade
$\begin{eqnarray*} y=624.85 \end{eqnarray*}$
zu schneiden.

Das Problem an der Sache ist, dass der Taschenrechner, den wir benutzen (CASIO CFX-9850GC PLUS) meines Wissens nicht in der Lage ist, solche Integralfunktionen zu berechnen. Die Lösung der Aufgabe geht von einem TI 83 aus, der dazu fähig ist.
Die Aufleitung mittels Produktregel ist außerdem nicht Thema in der Baden-Württembergischen Oberstufe. Gibt es hier noch "abiturwürdige" Möglichkeiten der Lösung, oder hilft nur "systematisches" Rumprobieren?

20.03.2008, 16:42

ushi

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RE: Füllhöhe einer halbvollen Vase

Zitat:

Original von Jin

Die Stammfunktion mittels Produktregel ist außerdem nicht Thema in der Baden-Württembergischen Oberstufe.

Aber vielleicht mittels partieller integration. Augenzwinkern

20.03.2008, 16:48

Primzahl

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RE: Füllhöhe einer halbvollen Vase

Zitat:

Original von ushi

Zitat:

Original von Jin

Die Stammfunktion mittels Produktregel ist außerdem nicht Thema in der Baden-Württembergischen Oberstufe.

Aber vielleicht mittels partieller integration. Augenzwinkern

kann man das nicht auch produktintegration nennen? wobei man produktregel leicht mit der regel zum differenzieren verwechseln kann.

mich interessiert eher woher die 624,85 kommen. sowie du das hingeschrieben hast, müsste das das volumen der vase sein. verwirrt

20.03.2008, 16:51

tmo

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RE: Füllhöhe einer halbvollen Vase

Zitat:

Original von Jin
Gibt es hier noch "abiturwürdige" Möglichkeiten der Lösung

abiturwürdig wäre es, das einfach ohne Taschenrechner zu rechnen.

Das Glied mit x^4 wird zwar ein bisschen lästig zu integrieren, aber sonst sehe ich da keine Probleme.

Andere Frage: wie bist du auf den Wert des Integrals gekommen? Dazu hast du doch bestimmt auch schon die Stammfunktion bestimmt, oder?

20.03.2008, 16:54

Jin

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Das ist die Hälfte des Volumens der Vase, oder auch

$\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot \pi \int_{0}^{22}~f(x)^{2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich wusste den Namen zum Äquivalent der Produktregel halt nicht und kann mich leider nicht an die Begriffe partielle Integration oder Produktintegration erinnern.

Das Integral habe ich mit dem GTR bestimmt, is zwar nur näherungsweise, aber in den Abi-Aufgaben haben wir eh nicht die Zeit, alles von Hand zu rechnen.

20.03.2008, 16:56

ushi

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RE: Füllhöhe einer halbvollen Vase

Zitat:

Original von tmo

Andere Frage: wie bist du auf den Wert des Integrals gekommen? Dazu hast du doch bestimmt auch schon die Stammfunktion bestimmt, oder?

das geht mit dem angegebenen GTR auch so. und der wert stimmt.

wenn ihr das nicht mit der hand rechnet, dann weiß ich auch nicht weiter, denn dein GTR kann es nicht.

20.03.2008, 17:00

tmo

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Zitat:

Original von Jin
Das Integral habe ich mit dem GTR bestimmt, is zwar nur näherungsweise, aber in den Abi-Aufgaben haben wir eh nicht die Zeit, alles von Hand zu rechnen.

Wenn du die Stammfunktion nicht von Hand bestimmen kannst (weil ihr es im Unterricht nicht besprochen habt), dann macht die Aufgabe wenig Sinn. verwirrt

20.03.2008, 17:09

Jin

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Die Aufgabe stammt aus dem Abi-Vorbereitungsbuch vom STARK-Verlag, aber ich hab die Art auch schon in ehemeligen Abiaufgaben gesehen. Meistens waren aber ganze Zahlen gesucht, und wenn nur ein paar hundert Möglichkeiten zur Verfügung stehen, kann man mit einigen Versuchen darauf kommen.

Über den Sinn und Unsinn mancher Aufgaben möcht ich nicht diskutieren.

20.03.2008, 17:13

ushi

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wenn das bei euch so ist, dass solche aufgaben mit dem GTR gelöst werden sollen, dann solltest du darüber nachdenken dir vielleicht diesen TI 83 zuzulegen, denn mit deinem casio geht das nicht.

20.03.2008, 20:26

outSchool

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RE: Füllhöhe einer halbvollen Vase

Zitat:

Original von Jin
Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)= 2.5 x^{2} \cdot e^{-0.5x}+2 \end{eqnarray*}$
beschreibt von x=0 bis x=22 das Profil einer Vase. Gesucht ist die Füllhöhe, bei der die Vase halb voll gefüllt ist.
...
Gibt es hier noch "abiturwürdige" Möglichkeiten der Lösung, oder hilft nur "systematisches" Rumprobieren?

Wie schon der Titel sagt, gesucht ist die Füllhöhe einer halbvollen Vase. Es ist nicht nach dem Volumen gefragt, deshalb reicht es aus, das Integral der Funktion f(x) zu bestimmen und nicht mit dem Volumenintegral rumzuprobieren.

Wer schon mal ein Integral der Form

$\begin{eqnarray*} \int a\cdot x^n\cdot b\cdot e^{c\cdot x} ~dx \end{eqnarray*}$

berechnet hat (Abiturstoff), weiss, dass das rekursiv mit partieller Integration gelöst werden kann.
Nachdem das Integral bestimmt und der Flächeninhalt berechnet wurde, muss jetzt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~f(x)~dx = 0,5 \cdot F \end{eqnarray*}$

gelöst (Nullstellen finden) werden. Hier wird man nur mit Näherungsverfahren (auch Abiturstoff) zum Ziel kommen.

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