Varianzänderung bei mehreren Versuchen

21.03.2008, 16:43

Ana

Varianzänderung bei mehreren Versuchen

Hallo,
nehmen wir an, dass Tim Weitwurf übt. Im Erwartungswert wirft er 40 Meter und die Varianz beträgt 25 Meter^2.
Jetzt sind die Regeln wie folgt: Tim würft zwei Mal und nur der bessere Wurf wird gezählt. Ich möchte jetzt wissen, wie sich die Momente, also Erwartungswert und Varianz verändern, wenn nur der beste Wurf immer berücksichtigt wird.

21.03.2008, 17:00

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Du kennst nur Erwartungswert und Varianz, aber nicht die genaue Verteilung (z.B. Normalverteilung, etc.) der Weite? Dann sind Erwartungswert und Varianz des Maximums nicht berechenbar, allenfalls Abschätzungen kann man dann treffen.

21.03.2008, 17:43

Ana

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Die Wurfweite ist normalverteilt.

21.03.2008, 18:12

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Dann erstmal ein paar Vorüberlegungen: Hat man unabhängige $\begin{eqnarray*} X_1,X_2\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ und deren Maximum $\begin{eqnarray*} X_M:=\max(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ , dann kann man über die Standardisierung $\begin{eqnarray*} Z_j = \frac{X_j-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ zu entsprechenden standardnormalverteilten $\begin{eqnarray*} Z_1,Z_2 \end{eqnarray*}$ übergehen. Bezeichnet man deren Maximum mit $\begin{eqnarray*} Z_M := \max(Z_1,Z_2) \end{eqnarray*}$ , dann folgt leicht $\begin{eqnarray*} X_M = \mu + \sigma\cdot Z_M \end{eqnarray*}$ und daraus dann sofort

$\begin{eqnarray*} E(X_M) = \mu + \sigma\cdot E(Z_M), \qquad \operatorname{var}(X_M) = \sigma^2 \cdot \operatorname{var}(Z_M)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

D.h., man kann sich erstmal von den $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma \end{eqnarray*}$ befreien und sich auf die Berechnung von Erwartungswert und Varianz des Maximums zweier standardnormalverteilten Zufallsgrößen konzentrieren - der Rest ergibt sich dann leicht mit (*).

Tja, und zur Berechnung von diesen $\begin{eqnarray*} E(Z_M),\operatorname{var}(Z_M) \end{eqnarray*}$ sind nun ein paar nette zweidimensionale Integrale zu betrachten (Tipp: Polarkoordinatentransformation!). Dann mal frohes Rechnen! Augenzwinkern

21.03.2008, 19:41

Ana

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Hi Arthur,
vielen Dank für deinen Beitrag.
Ich sehe noch nicht ganz, wie das funktionieren soll:
Das mit der Umrechnung auf eine standardnormalverteilte ZV ist ja kein Problem, aber auch nicht umbedingt nötig, oder?
Nehmen wir an Tim wirft 100 Mal, im Erwartungswert 40 Meter und ich nehme mir jetzt nur den besten Wurf, dann ist die erwartete Weite für diesen keine 40 Meter mehr, sondern abhängig von der Varianz und der Verteilung der ursprünglichen Würfe: da in diesem Beispiel die Varianz 25 war ist die Standardabweichung 5 Meter. Ich würde jetzt rein intuitiv eine neue Normalverteilung erwarten mit einem Erwartungswert von z.B. 47 Meter und einer Varianz von 4m^2. Dies dürfte sich auch aus dem Wissend der Verteilung und ihrer Parameter exakt berechnen lassen, nur wie? Eine Transformation auf die Standardnv mag für das händische Rechnen Sinn machen, aber das kann ich auch maple überlassen.

So ganz verstehe ich deine Überlegung nicht: Ich habe ja nur eine ZV, nämlich die Wurfweite. Und für diese zwei oder mehr Werte(Würfe). Was ich jetzt brauche ist eine Formel, wie sich die Normalverteilung N(40,25) in eine neue Normalverteilung mit z.B. N(47,4) transformieren lässt, also wie ich herausfinde, was das erwartete Maximum und dessen Varianz ist.

21.03.2008, 19:50

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Zitat:

Original von Ana
Ich würde jetzt rein intuitiv eine neue Normalverteilung erwarten

Dann täuscht dich deine Intuition: Das Maximum zweier unabhängig normalverteilter Größen ist nicht normalverteilt!

---------------------

Zurück zu meinem Ansatz: Die Rechnung basiert auf der gemeinsamen Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z_1,Z_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E(Z_M) = E(\max(Z_1,Z_2)) = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} ~ \max(x,y)\cdot \varphi(x)\varphi(y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Dichte der Standard-NV ist, also eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} E(Z_M) = \frac{1}{2\pi} ~ \iint\limits_{\mathbb{R}^2} ~ \max(x,y)\cdot \exp\left( -\frac{x^2+y^2}{2} \right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Das gilt es zu berechnen. Ähnlich kann man dann

$\begin{eqnarray*} E(Z_M^2) = \frac{1}{2\pi} ~ \iint\limits_{\mathbb{R}^2} ~ (\max(x,y))^2\cdot \exp\left( -\frac{x^2+y^2}{2} \right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

berechnen, woraus über $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Z_M) = E(Z_M^2)-(E(Z_M))^2 \end{eqnarray*}$ auch die Varianz folgt. Das \max im Integral wird man natürlich los durch geschickte Aufteilung des Integrationsbereichs.

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