Binominalkoeffizient und vollständige Induktion

21.03.2008, 19:19

Irrstern

Binominalkoeffizient und vollständige Induktion

Hi zusammen,

sitzte vor einer Induktion und komm nicht weiter.

Zu zeigen ist, das folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!k!}=0 \end{eqnarray*}$

nun mein Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~(-1)^k \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~(-1)^k* \frac{n!}{(n-k)!k!}* \frac{(n+1)}{(n+1-k)}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!k!}*\frac{n+1}{n+1-k} + (-1)^{1+n}\frac{(n+1)!}{(n-(n+1))!(n+1)!}*\frac{n+1}{n+1-n-1} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich aber das Problem, dass der Nenner des letzten Bruchs Null wird. Kann mir jemand helfen????

21.03.2008, 19:39

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Bei der Gelegenheit denk auch gleich nochmal über das seltsame $\begin{eqnarray*} (n-(n+1))! = (-1)! \end{eqnarray*}$ nach, was da bei dir im Nenner steht.

Deutlicher: Die Faktorabspaltung in der vorletzten Zeile ist für $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ schlicht nicht möglich!

21.03.2008, 19:41

tmo

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Ein Tipp:
Benutze lieber mal die Darstellung $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ und die Rekursionformel $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \end{eqnarray*}$ .

21.03.2008, 19:45

Irrstern

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danke euch beiden, werd ich gleich mal ausprobieren.
was ist denn an meiner faktorisierung falsch bzw warum ist es nicht möglich??

21.03.2008, 20:18

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Zitat:

Original von Irrstern
was ist denn an meiner faktorisierung falsch bzw warum ist es nicht möglich??

Noch deutlicher: Im Fall k=n+1 verwendest du die Iteration $\begin{eqnarray*} 0! = 0\cdot (-1)! \end{eqnarray*}$ . Das ist einfach Unsinn, denn erstens sind Fakultäten nur für nichtnegative ganze Zahlen erklärt, und zweitens gilt dann eben die Iteration $\begin{eqnarray*} (m+1)! = (m+1)\cdot m! \end{eqnarray*}$ auch nur für nichtnegative ganze $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und somit NICHT für m=-1 wie bei dir. Reicht das jetzt als Erklärung???

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