Momenterzeugende Funktion

22.03.2008, 12:45

leere menge

Momenterzeugende Funktion

Hallo,
nach einiger Hochschulabstinenz hab ich gerade wieder mit Mathematik zu tun. Versuche gerade momenterzeugende funktionen zu verstehen. Es geht um folgendes Übungsbeispiel.

P(X=x)=e^(-L)L^x/x! x=1,2,... L>0

WIe finde ich die momenterzeugende funktion? muss ich dazu den Erwartungswert berechnen und die Varianz und sie mir damit irgendwie herleiten oder kann ich sie direkt herleiten und dann den EW und die Varianz damit einfach berechen?

Habe auch Probleme mit der Berechnung des EW(x) und des EW(x^2). Kann mir jemand erklären wie ich dass hier mache.

Schönen Gruß,
Chris

22.03.2008, 14:13

therisen

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RE: Momenterzeugende Funktion

Zitat:

Original von leere menge
P(X=x)=e^(-L)L^x/x! x=1,2,... L>0

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ . Den Wert für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ musst du auch noch hinzunehmen. Für die momenterzeugende Funktion $\begin{eqnarray*} M_X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} M_X(s)=\sum_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{sk} \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Den Reihenwert kann man ganz leicht berechnen bzw. sogar direkt ablesen. Es gilt dann die Beziehung

$\begin{eqnarray*} E[X^k]=\frac{\partial^k}{\partial s^k} M_X(s)\biggr\vert_{s=0} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

23.03.2008, 07:26

leere menge

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Danke für die Hilfe soweit. Leider komm ich damit nicht ganz zu ende. wie kann ich den wert der reihe ablesen (hatte lange nichts mit mathe zu tun, mir fehlt hier jegliches gespür) bzw berechnen.

23.03.2008, 10:47

therisen

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Klammer $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ aus, beachte $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{sk}\lambda^k=(\mathrm{e}^s\lambda)^k \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{z}=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

23.03.2008, 12:21

leere menge

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Dann hätten wir

M_x(s)=e^(-L)*Summe[(e^s*L)^k/k!]=e^(-L)*e^(e^s*L)=e^L(e^s -1)

Als erste Ableitung erhalte ich dann: e^L*(e^s-1)*L*e^s

M'_x(0) ist dann L

Zweite Ableitung ist e^L*(e^s-1)*L*e^s*L*e^s+e^L*(e^s-1)*L*e^s

M''_x=L^2+L

Ist dieses Ergebnis so korrekt?

23.03.2008, 12:54

therisen

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Ja, alles richtig. Es war allerdings nicht ganz einfach, deinen Beitrag zu entziffern. Benutze beim nächsten mal bitte den Formeleditor, so wie ich auch.

23.03.2008, 23:35

leere menge

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Danke für die Hilfe. Werde mich bemühen, mich mit dem Formeleditor anzufreunden.

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