Probleme bei Taylorreihe

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23.03.2008, 12:41

petiz

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Probleme bei Taylorreihe

Hallo Leute,

Meine Aufgabe ist es eine Taylorreihe für die Funktion

mit dem Entwicklungspunkt Xo = 1, zu berechnen.

Soweit so gut.

Ich leite viermal ab:

vereinfache:

So, nun benutze ich die Formel für die Taylorreihe:

.. und setze ein ...

Sodale, nun habe ich zwei Fragen:

Frage 1: Habe ich überhaupt alles richtig gemacht? verwirrt

Frage 2: Der zweite Teil der Aufgabe wünscht eine Schreibweise mit Summenzeichen. Okay, die Frage ist nur, wie setze ich die Folge (-3) * (-7) * (-11) * (-15) * ... (für jeden Summanden einen Faktor mehr) um?

Soweit bin ich bis jetzt:

ich bedanke mich schonmal im Vorraus für eure Hilfe

23.03.2008, 13:03

mathe760

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Soweit ich das sehe, hat sich in deiner 1. Ableitung ein kleiner Fehler eingesc hlichen...

\Edit1: Das macht die restlichen Ableitungen natürlich auch automatisch falsch!
\Edit2: Das ist Müll was ich hier geschrieben habe unglücklich

Bis denn mathe760 Wink

23.03.2008, 13:04

Mazze

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Bis hierhin

$\begin{eqnarray*} 16x^{\frac{1}{4}}+\frac{(x-1)}{1!}*16^{-\frac{3}{4}}+\frac{(x-1)^2}{1!}*(-3)*16^{-\frac{7}{4}}+ \end{eqnarray*}$

ist alles soweit ich das sehe richtig. Allerdings sollte es doch wohl

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{(x-1)}{1!}*16^{-\frac{3}{4}}+\frac{(x-1)^2}{2!}*(-3)*16^{-\frac{7}{4}}+... \end{eqnarray*}$

Denk dran das sich die Fakultäten in den Bruchtermen auch mit jeder höheren Ableitung ändern. Und f(x_0) = f(1) = 2. So nun zu der Folge :

Schau Dir mal das hier an :

-3 = -( 0 + 3)
-7 = -(4 + 3)
-11 = -(8 + 3)
-15 = -(12 + 3)

Vielleicht reicht es Dir ja schon Augenzwinkern

Edit : Seine erste Ableitung ist richtig

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{4x + 12}' = \frac{1}{4}(4x + 12)^{-\frac{3}{4}}*4 =(4x + 12)^{-\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

edit2: Man kann übrigens für $\begin{eqnarray*} 16^{-\frac{a}{4}} \text{ für } a > 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^a} \end{eqnarray*}$

schreiben

23.03.2008, 13:11

mathe760

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Ich bin so ein Depp!!!!!! unglücklich

Sorry hab die innere Ableitung gerade ganz vergessen geschockt

Nochmals entschuldigung an euch beide traurig

Bis denn mathe760 Wink

23.03.2008, 13:13

petiz

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Zitat:

Original von mathe760
Soweit ich das sehe, hat sich in deiner 1. Ableitung ein kleiner Fehler eingesc hlichen...

\Edit: Das macht die restlichen Ableitungen natürlich auch automatisch falsch!

Bis denn mathe760 Wink

wieso denn?

Die Kettenregel besagt:

also habe ich folglich:

und das 4 * (1/4) kürzt sich ja raus Augenzwinkern

Edit: Kein Problem, kann jedem mal passieren

Zitat:

Original von Mazze
Bis hierhin

$\begin{eqnarray*} 16x^{\frac{1}{4}}+\frac{(x-1)}{1!}*16^{-\frac{3}{4}}+\frac{(x-1)^2}{1!}*(-3)*16^{-\frac{7}{4}}+ \end{eqnarray*}$

ist alles soweit ich das sehe richtig. Allerdings sollte es doch wohl

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{(x-1)}{1!}*16^{-\frac{3}{4}}+\frac{(x-1)^2}{2!}*(-3)*16^{-\frac{7}{4}}+... \end{eqnarray*}$

Denk dran das sich die Fakultäten in den Bruchtermen auch mit jeder höherten Ableitung ändern. Und f(x_0) = f(1) = 2. So nun zu der Folge :

1. Ja, du hast Recht. Der erste Faktor ist natürlich nur die viertel Wurzel von 16 oder halt einfach nur Zwei.
2. Das hab ich auf meiner Mitschrift richtig, habs nur falsch abgetippt.. Siehst du ja auch an der Summe, dass ich die aufsteigende Fakultät beachtet hab Augenzwinkern

.. zu dem Rest von dir nehme ich gleich Stellung.. muss da mal kurz rübergrübeln

23.03.2008, 13:15

mathe760

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siehe oben...

Bis denn mathe760 Wink

23.03.2008, 13:39

petiz

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okay also ich weiß nicht weiter

-3 = -( 0 + 3)
-7 = -(4 + 3)
-11 = -(8 + 3)
-15 = -(12 + 3)

<- inwiefern soll ich damit was anfangen?

Ich vermute dass ich irgendwie eine Fakultät brauche und tüftel damit wie wild rum, aber ich komm einfach nicht auf den richtigen Trichter

.. mein bester Ansatz bis jetzt war

(die negativen Vorzeichen lasse ich erstmal aussen vor, da kann ich einfach nachher nen -1^n dahinterpacken)

mit meinem Aufbau würde ich folgende Reihe bekommen

n=1 ===> 4
n=2 ===> 4*5
n=3 ===> 4*5*6

.. aber irgendwie ist das ja auch nicht so das wahre

23.03.2008, 13:42

Mazze

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Zitat:

Ich vermute dass ich irgendwie eine Fakultät brauche und tüftel damit wie wild rum, aber ich komm einfach nicht auf den richtigen Trichter

Das ganze ist total simpel. Zunächst können wir festhalten das der n-te Faktor von der Form

$\begin{eqnarray*} -(4*(n - 1) + 3) \end{eqnarray*}$

ist. Das ganze musst Du nur noch in das Produktzeichen $\begin{eqnarray*} \prod \end{eqnarray*}$ verwurschteln und Du bist fertig.

23.03.2008, 13:48

petiz

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ja okay... mit einem Produktzeichen (ich wusste bis jetzt nichtmal dass es so etwas gibt), ist es wirklich simpel!

Die Frage ist nur ob ich das auch einsetzen darf. In der Aufgabenstellung steht einfach nur:

"Berechnen Sie die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt Xo=1 für die Funktion xxx

(a) aufzählende Schreibweise bis zum Summanden (x-1)^4,
(b) Schreibweise mit Summenzeichen"

Bist du dir denn definitiv sicher, dass man ein Produktzeichen auf jeden Fall auch braucht und es keine andere Lösung mit Einbindung einer Fakultät gibt?

23.03.2008, 13:53

Mazze

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Ob es eine expliziete Darstellung gibt seh ich so schnell nicht. Das Produktzeichen ersetzt hier auch nicht die Summe. Du bekommst dann sowas:

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx s(x) + \sum_{i = a}^{\infty}\prod_{j=1}^{i}[-(4*(j - 1) + 3]\frac{(x - 1)^{u(i)}}{t(i)}v(i) \end{eqnarray*}$

Und das genügt der Aufgabenstellung, da es eine Schreibweise mit Summenzeichen ist.

23.03.2008, 13:59

petiz

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okay, ich komme jetzt auf folgende Summenformel:

für mich siehts richtig aus

23.03.2008, 14:07

Airblader

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Zitat:

Original von petiz
Die Kettenregel besagt:

Das sagt sie mit Sicherheit nicht unglücklich

air

23.03.2008, 14:10

Mazze

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fast richtig, es sollte

$\begin{eqnarray*} f(x)=2 + \frac{(x-1)}{2^3} + \sum_{n=2}^\infty~\frac{(x-1)^n}{n!}*(16)^{-\frac{3+4(n-1)}{4}} * \prod_{k=1}^{n-1}~-(4*(k-1)+3) \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung hat doch Faktor 1 Augenzwinkern

. Und das Produkt sollte bis n - 1 gehen da ja die zweite Ableitung Faktor (-3) hat, und -3 = -(4*(2 - 1 -1) + 3) ist. Schöner sieht das ganze dann so aus

$\begin{eqnarray*} f(x)=2 + \frac{(x-1)}{2^3} + \frac{1}{2^3}\sum_{n=2}^\infty~\left[\frac{(x-1)^n}{n!}\frac{1}{ 2^{ 4(n-1)}} * \prod_{k=1}^{n-1}~-(4*(k-1)+3)\right] \end{eqnarray*}$

Im übrigen ein kleiner Tip, versuch mal Deine Formeln direkt in die Latexumgebung zu packen statt Bilder zu benutzen, dann kann man Deine Formeln leichter copy-pasten.

23.03.2008, 19:08

petiz

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alles klar, danke an alle die geholfen haben!

Das wars vorerst, evtl komme ich nochmal auf das Thema hier zurück! Tanzen

23.03.2008, 23:25

petiz

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Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Original von petiz
Die Kettenregel besagt:

Das sagt sie mit Sicherheit nicht unglücklich

air

Du hast Recht.. Zwischen $\begin{eqnarray*} f[z(x)] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ gehört natürlich kein Gleichzeichen. Aber einfach nur sagen "is falsch" und keine weitere Erläuterung, nach dem Motto "ich bin schlau, ihr nicht" finde ich persönlich eher daneben.

24.03.2008, 01:20

Airblader

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Zitat:

Original von petiz
"ich bin schlau, ihr nicht"

Einfach Dinge zu unterstellen finde ich weitaus mehr daneben, als wenn ich ihm die Möglichkeit gebe, über den Fehler nachzudenken, ohne gleich alles zu verraten unglücklich

air

24.03.2008, 09:39

petiz

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ich unterstelle dir überhaupt nichts, dein Post kam halt so rüber. Manchmal macht die Schreibweise bzw. der Smiley dahinter die Musik.

Wenn du gewollt hättest, dass ich über die Formel nachdenke, hättest du auch einfach "Guck dir das nochmal an. Da isn kleiner Fehler drin" schreiben können Augenzwinkern

24.03.2008, 09:59

Leopold

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Wenn du die die binomische Reihe

$\begin{eqnarray*} (1+t)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} {{\alpha} \choose n} \, t^n \, , \ \ |t| < 1 \end{eqnarray*}$

schon kennst, kann du das Ganze durch die Substitution $\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{4} \, (x-1) \end{eqnarray*}$ erledigen:

$\begin{eqnarray*} (12 + 4x)^{\frac{1}{4}} = \left( 16 + 4(x-1) \right)^{\frac{1}{4}} = 2 \left( 1 + \frac{1}{4} \, (x-1) \right)^{\frac{1}{4}} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} \, {{\frac{1}{4}} \choose n} (x-1)^n \end{eqnarray*}$

Zum Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} |t| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \frac{1}{4} \, (x-1) \right| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |x-1| < 4 \end{eqnarray*}$

Der Konvergenzradius beträgt also $\begin{eqnarray*} R = 4 \end{eqnarray*}$ .

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