Raumteilung durch Ebenen

23.03.2008, 19:37	schachmatt	Auf diesen Beitrag antworten »
Raumteilung durch Ebenen Hallo Ich habe hier eine Frage, derr ich leider nicht Herr werde. Ich hoffe, das ihr mir bei dem Problem helfen könnt "6 Ebenen teilen den R³ in x Teile. Bestimmen Sie x, wenn x den größt möglichen Wert annimt" Meine Frage ist jetzt, ob es eine allgemeine Formel, für x und k-Ebenen. Vielen dank schon mal im Vorraus. Gruß Alex [Edit mY+: Der Titel wurde leider unglücklich gewählt. Geändert.]
25.03.2008, 23:21	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir höchsten eine Formel für die Berechnung geben, die dir sagt, in wie viele Stücke du eine Pfannkuchen mit n Schnitten bekommst. $\begin{eqnarray} S(n)=\frac{n^2+n+2}{2} \end{eqnarray}$ Aber das ist nicht ganz das gleiche . p.s. die Formel würde mich auch interessieren. Gruß
26.03.2008, 00:14	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
versuche es einmal mit $\begin{eqnarray} N_3(n) = \frac{(n+1)(n²-n+6)}{6} \end{eqnarray}$ für ebenen, von denen sich je 3 schneiden und keine 4 gemeinsame punkte haben. anzahl der teile, in die eine gerade durch n punkte zerlegt wird: $\begin{eqnarray} N_1(n)=n+1 \end{eqnarray}$ anzahl der teile, in die n geraden die ebene (torte) zerlegen: $\begin{eqnarray} N_2(n)=\frac{n²+n+2}{2} \end{eqnarray}$ anmerkung so schlau bin nicht ich, aber dafür I.S.Sominskij et al., die vollständige induktion
26.03.2008, 23:39	schachmatt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für die Antworten Gruß Alex
27.03.2008, 11:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Nachtrag ... Für Leute mit ausgeprägter Vorstellungskraft kann man das ganze auch allgemein auf den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ erweitern: Sei $\begin{eqnarray} N_d(n) \end{eqnarray}$ die maximale Anzahl der Teilstücke, in die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Hyperebenen der Dimension $\begin{eqnarray} d-1 \end{eqnarray}$ den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ zerlegen können. Dann gilt für $\begin{eqnarray} d\geq 1,n\geq 1 \end{eqnarray}$ die Rekursion $\begin{eqnarray} N_d(n) = N_d(n-1)+N_{d-1}(n-1) \end{eqnarray}$ mit den Anfangs- bzw. Randwerten $\begin{eqnarray} N_0(n) = N_d(0) = 1 \end{eqnarray}$ . Daraus kann man die explizite Formel $\begin{eqnarray} N_d(n) = \sum_{k=0}^{\lfloor d/2 \rfloor} \binom{n+1}{d-2k} \end{eqnarray}$ ableiten, Beweis durch Induktion über $\begin{eqnarray} (d,n) \end{eqnarray}$ .
27.03.2008, 12:13	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleiner Nachtrag ... ich kann es mir zwar nicht vorstellen, aber, nachdem ich das obige durchgeackert habe, "begreifen"
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