Tangentialraum einer UMF bestimmen

24.03.2008, 11:08	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialraum einer UMF bestimmen Hallo, ich habe eine Frage zur Bestimmung des Tangentialraums einer Untermannigfaltigkeit. Ist eine UMF durch eine Gleichung F gegeben, so kann der Tangentialraum ja wie folgt bestimmt werden: $\begin{eqnarray} T_pM = \left\{ v \in R^3 \mid <gradF(p),v>=0 \right\}. \end{eqnarray}$ Z.B. Der Zylinder $\begin{eqnarray} Z=\left\{ (x,y,z)\in R^3 \mid x^2+y^2=1 \right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(x,y,z)=x^2+y^2-1 \end{eqnarray}$ hat den Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_pZ=\left\{ v\in R^3 \mid <gradF(p),v>=0 \right\} = \left\{ v\in R^3 \mid xv_1+yv_2 =0\right\} \end{eqnarray}$ Wenn ich eine UMF aber durch eine Parametrisierung gegeben habe, wie kann ich da den Tangentialraum bestimmen? Vielen Dank Torsten
24.03.2008, 11:42	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Falle einer Parametrisierung, etwa $\begin{eqnarray} \varphi:\mathbb R^d\to M\subset\mathbb R^n \end{eqnarray}$ , ist es viel einfacher (man braucht kein lineares Gleichungssystem zu lösen): Gilt $\begin{eqnarray} p=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varphi_1(u_1,\dots, u_d)\\\varphi_2(u_1,\dots, u_d)\\ \vdots \\ \varphi_n(u_1,\dots, u_d) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , so ist eine Basis von $\begin{eqnarray} T_p(M) \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \partial_{u_1}p,\dots,\partial_{u_d}p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \partial_{u_i}p=\begin{pmatrix} \partial_{u_i}\varphi_1 \\ \partial_{u_i}\varphi_2 \\ \vdots \\\partial_{u_i}\varphi_n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .

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