Funktionsschar mit Näherungsparabel

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24.03.2008, 15:14	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsschar mit Näherungsparabel $\begin{eqnarray} \frac{x}{a} e^{ax} \end{eqnarray}$ a>0 Der Graph von f1 (a=1) soll durch eine quadratische Parabel approximiert werden,die durch die Nullstelle und den Extremalpunkt von f1 verläuft. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Näherungsparabel und berechnen Sie die Maximalabweichung für -1<x<0. mein Ansatz: Scheitelpunkt der Parabel durch die Nullstelle (0/0) Extremalpunkt für f1 E(-1/ $\begin{eqnarray} - e^{-1} \end{eqnarray}$ quadrat. Parabel: $\begin{eqnarray} x^{2} + px+q \end{eqnarray}$ Einsetzen der beiden Punkte um p und q zu bestimmen 0=0+0p+q q=0 $\begin{eqnarray} - e^{-1} \end{eqnarray}$ =(-1)^2-p+0 p=(e+1)* $\begin{eqnarray} e^{-1} \end{eqnarray}$ hm...ist das soweit richtig? und was genau ist die maximalabweichung? der abstand zwischen oberer und unterer Funktion? Wie rechnet man den aus?
24.03.2008, 15:25	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Maximalabweichung kannst du mit der Differenz beider Funktionen berechnen.
24.03.2008, 15:43	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
yau.....kam mir eben auch in den sinn.....^^ also f1(x) - $\begin{eqnarray} x^{2}+(e+1) e^{-1}x \end{eqnarray}$ und davon die Ableitung und halt Maximum bestimmen...komm dann auf x=-0,557 dann hab ich jeweils den Funktionswert (y) an der Stelle x=-0,557 von beiden Funktionen bestimmt und den Abstand beider Punkte berechnet.... kam auf 0,133 LE mag jemand nachrechnen ob das stimmt?
24.03.2008, 15:48	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage: Warum nimmst du bei der Standardform der Parabel $\begin{eqnarray} f(x)=x^2+px+q \end{eqnarray}$ an und hast keinen faktor vor dem x^2?
24.03.2008, 15:53	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
keine ahnung..... hab ich spontan im tafelwerk so gefunden... hm......dann hätt ich noch ne variable mehr......arg....
24.03.2008, 15:55	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich lassen sich alle Funktionen zweiten Grades darstellen durch $\begin{eqnarray} f(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ (Ob jetzt a, b und c oder p, q und r ist natürlich schnuppe)
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24.03.2008, 15:58	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
aber dann wären ja meine bisherigen ergebnisse immer von einer variable abhängig,oder?
24.03.2008, 16:01	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe ohnehin deinen Rechenweg nicht ganz. Bestimme doch mal die Nullstellen und Extrema der Ausgangsfunktion in Abhängigkeit von a.
24.03.2008, 16:05	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich ja alles gemacht.....nur das war die aufgabe die mir probleme bereitet hat... Nullstellen...hab ich nur P (0/0) und Extrema hab ich nur ein Maximum bei $\begin{eqnarray} E(-\frac{1}{a} /-\frac{e^{-1}}{a^{2}}) \end{eqnarray}$
24.03.2008, 16:09	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt kannst du noch für a den Wert 1 einsetzen. Was mich stört, ist der Umstand, dass nur zwei Informationen gegeben sind, aber drei Variablen zu eliminieren sind. Ist die Angabe so vollständig? Wenn nicht, muss wahrscheinlich der letzte Parameter durch die Maximalabweichung berechnet werden, indem man diese in Abhängigkeit des Parameters untersucht.
24.03.2008, 16:18	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
also die aufgabenstellung lautet genau so wie ich sie schrieb.... $\begin{eqnarray} E(-{1} /-{e^{-1}}) \end{eqnarray}$ allgemeine quadrat. Gleichung: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=f(x)=a0^2+b0+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -{e^{-1}}=a-{1}^2+b-{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -{e^{-1}}=a-b \end{eqnarray}$
24.03.2008, 16:24	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das steht jetzt nicht explizit in deiner Angabe, aber wenn man sich mal den Graph ansieht, ist einem klar, dass der Scheitel im Extrempunkt ist und der Graph durch (0/0) gehen soll. Versuchs mal damit. Deine letzte Berechnung ist quatsch, da du nicht f(x) = 0, sondern f(0) gesetzt hast. EDIT: Dann klappt das auch mit zwei Punkten
24.03.2008, 16:41	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erklär dir nochmal, wie ichs meine: Du hast eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x\cdot e^x \end{eqnarray}$ gegeben (a=1) Diese soll im Bereich ]-1;0[ durch eine Parabel approximiert werden. Am Graphen sieht man, dass es am Günstigsten ist, wenn die Parabel mit ihrem Scheitel im Tiefpunkt liegt und einen Schnittpunkt mit der Nullstelle von f hat. Die Funktion der Approximationsparabel nennen wir g. Dann gilt für g (in der Scheitelpunktform): $\begin{eqnarray} g(x) = p(x-q)^2+r \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du über den gegebenen Scheitel (der Tiefpunkt von f) die Parameter q und r elimineren und p über den Schnittpunkt mit der Nullstelle bestimmen.
24.03.2008, 16:44	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
dann komm ich auf eine parabelgleichung $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{e} + \frac{2x}{e} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{-1} (x+1)^2-e^{-1} \end{eqnarray*}$
24.03.2008, 16:46	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht bei mir im Plotter gut aus! Jetzt brauchst du nur noch die Maximalabweichung.
24.03.2008, 16:50	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} xe^x-e^{-1} (x+1)^2-e^{-1} \end{eqnarray}$ erste Ableitung: $\begin{eqnarray} (x+1)e^x -2e^{-1}(x+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+1)e^x -2e^{-1}(x+1)=0 \end{eqnarray}$ x=-1 x=ln2 -1 zweite ableitung: $\begin{eqnarray} (x+2) e^x -2e^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-1)=-e^{-1} \end{eqnarray*}$ Maximum
24.03.2008, 16:56	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die x-Werte für die Extremwerte der Differenz, richtig. Wie groß ist nun aber die eigentliche Differenz? EDIT zu deinem EDIT: Das kann nicht sein, da die Differenz im Punkt (-1; -1/e) minimal ist, da f und g dort genau übereinander liegen.
24.03.2008, 16:59	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
was muss ich denn rechnen,wenn ich die eigentliche differenz haben will?
24.03.2008, 17:02	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mit D(x) die Differenzfunktion der Graphen bezeichnest (D(x) = \|f(x)-g(x)\|), so ist D(x) die Differenz der Graphen im Punkt x.
24.03.2008, 17:04	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, um die maximalabweichung festzustelllen muss ich doch die maximale differenz herausfinden,oder?......
24.03.2008, 17:06	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch schon die beiden Extrempunkte, nämlich bei -1 und (ln 2 - 1). Setz doch die beiden mal in D(x) ein, dann hast du den Punkt, wo die Graphen am engsten zusammen liegen und den Punkt wo die Graphen am weitesten auseinander sind.
24.03.2008, 17:14	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} D(-1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D(ln2-1)=-((ln2)-1)^2e^{-1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} D(ln2-1)=-0,03 \end{eqnarray*}$ bei x=ln2-1 ist also die größte entfernung?
24.03.2008, 17:17	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig
24.03.2008, 17:18	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich jetz nicht noch den abstand ausrechnen zwischen den beiden graphen?
24.03.2008, 17:19	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du bereits. Nämlich 0.03 (Du hast vergessen, den Betrag der Differenz der beiden Funktionen zu nehmen, da man nur dann von einer wirklichen Entfernung reden kann)
24.03.2008, 17:21	falke	Auf diesen Beitrag antworten »
dankeschön
24.03.2008, 17:27	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
kein Problem, das Matheboard hilft dir gerne

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