lineare unabhängigkeit

24.03.2008, 18:45

Bauing

lineare unabhängigkeit

Hat jemand einen Tipp für mich wie man folgende Aufgabe lösen kann:

Zeigen Sie, dass die Funktionen fn: R->R fn=e^(nx) linear unabhängig sind.

24.03.2008, 18:48

system-agent

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Ja, die Definition der linearen Unabhängigkeit...

24.03.2008, 18:51

Duedi

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Das bedeutet, dass es keine $\begin{eqnarray*} n_1, n_2, ..., n_k; ~~~ k\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt, für die gilt: $\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_1\cdot f_{n_1}(x) + \lambda_2\cdot f_{n_2}(x) + ... +\lambda_k\cdot f_{n_k}(x) \end{eqnarray*}$

EDIT: Dies gilt für jedes beliebige k

24.03.2008, 18:52

system-agent

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@Duedi
Hier wurde noch nicht mal gesagt was überhaupt für ein Vektorraum betrachtet werden soll...

24.03.2008, 18:55

Duedi

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Tut mir leid, ich war (wie so oft) mal wieder etwas voreilig unglücklich

24.03.2008, 18:56

Bauing

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Ja die Definition hab ich schon nachgesehen, Sie lautet:

Für jedes System von Zahlen a1,.....,ak E R für das a1*v1+....+ak*vk=0 erfüllt ist, a1=....=ak=0, so nennt man v1,....,vk linear unabhängig.

Nur weiß ich nicht wie ich das auf das Beispiel umlegen soll?

24.03.2008, 19:01

system-agent

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Na dann verrate doch mal noch was denn nun für ein Vektorraum betrachtet wird?

27.03.2008, 01:47

Bauing

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Der zwei-Dimensionale oder?

27.03.2008, 07:40

system-agent

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Zitat:

Original von Bauing
Der zwei-Dimensionale oder?

Das ist ziemlich sinnlos.

Offensichtlich hast du einen Vektorraum von Funktionen.
Man kann zum Beispiel den Vektorraum aller stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten, aber der ist sehr gross [unendlichdimensional].

Wie gesagt, ich könnte mir denken dass du den Vektorraum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ meinst. Aber der ist auch nicht viel kleiner als der vorgenannte.
Falls dem so ist, dann kann man Duedis Tipp nehmen:
Bilde
$\begin{eqnarray*} \lambda_1f_1(x)+...+\lambda_nf_n(x)=N(x) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ ist. Weise dann nach dass notwendig $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist.

Bleibt noch die Frage wie gross dein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein soll? Solltest du vielleicht jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ betrachten? Falls ja sei das Stichwort vollständige Induktion genannt.

27.03.2008, 13:03

Mathespezialschüler

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Es ist eigentlich ziemlich egal, welchen Untervektorraum des Vektorraums aller Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ man betrachtet, solange dieser alle gegebenen Funktionen enthält. Linear unabhängig sind sie dann immer.

28.03.2008, 20:25

Bauing

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Danke für den Tipp mit der vollständigen Induktion, nur hänge ich da wieder fest...

Induktionsanfang:

n=1

$\begin{eqnarray*} \lambda 1*e^x =0 \end{eqnarray*}$

Ist offensichtlich nur dann Null wenn \lambda 1 Null ist, da e^x nie Null wird.

Induktionsannahme:

n=n

$\begin{eqnarray*} \lambda 1*e^x+\lambda 2*e^(2x)+.......+\lambda n*e^(nx) =0 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

n=n+1

$\begin{eqnarray*} \lambda 1*e^x+\lambda 2*e^(2x)+.......+\lambda n*e^(nx)+ \lambda (n+1)*e^((n+1)x) =0 \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich nun, dass dieser letzte Ausdruck nur dann 0 ist, wenn alle Lamda null sind?

28.03.2008, 21:01

system-agent

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Was weisst du denn schon über das ganze Zeugs bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Stichwort Induktionsannahme!

29.03.2008, 22:15

Bauing

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Zitat:

Original von system-agent
Was weisst du denn schon über das ganze Zeugs bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Stichwort Induktionsannahme!

Dass (Induktionsannahme n=n)

$\begin{eqnarray*} \lambda 1*e^x+\lambda 2*e^(2x)+.......+\lambda n*e^(nx) =0 \end{eqnarray*}$

nur dann null wird, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda 1,\lambda 2,.....,\lambda n \end{eqnarray*}$ null sind.

29.03.2008, 23:41

Mathespezialschüler

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Also ich weiß nicht genau, worauf system-agent hinaus will, aber ich lass mich mal überraschen! smile

Alternativ würde ich trotzdem gerne einen anderen Vorschlag unterbreiten. Nimm an, es gäbe feste Werte $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1^2+\ldots+\lambda_n^2>0 \end{eqnarray*}$ (diese Ungleichung bedeutet, dass nicht alle Null sind) und ein $\begin{eqnarray*} x_1\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\operatorname e^{x_1}+\ldots+\lambda_n\operatorname e^{nx_1}\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es automatisch auch noch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ andere, paarweise verschiedene Stellen $\begin{eqnarray*} x_2,\ldots,x_{n+1} \end{eqnarray*}$ , die ebenfalls einen Wert ungleich Null liefern (Warum?). Definiere nun $\begin{eqnarray*} t_1:=\operatorname e^{x_1},\ldots,t_{n+1}:=\operatorname e^{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$ . Was gilt dann für $\begin{eqnarray*} t_1,\ldots,t_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

(Du wirst auf eine Aussage kommen, deren Richtigkeit du sehr wahrscheinlich mit einem Satz aus der Vorlesung widerlegen kannst. Das hoffe ich zumindest einmal.)

30.03.2008, 13:28

Leopold

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Noch ein Vorschlag: Mehr Eigenschaften der Exponentialfunktion investieren!

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k \operatorname{e}^{kx} = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$ multiplizieren - differenzieren - Induktion.

31.03.2008, 15:51

WebFritzi

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Durch Setzen von $\begin{eqnarray*} x = \ln(t) \end{eqnarray*}$ kann man die Aussage auch auf Polynome zurückführen. Mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra (zum Beispiel) ist der Beweis dann ein Einzeiler.

31.03.2008, 18:10

Mathespezialschüler

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@Webfritzi
Hast du dir meinen Beitrag mal (etwas genauer) durchgelesen? Augenzwinkern

@Leopold
Schöne Idee, die gefällt mir noch besser!

31.03.2008, 19:08

Leopold

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@ MSS

Irgendwie hast du dich in deinem Beitrag mit der Logik verheddert.

Entweder du weist nach:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \lambda_k \operatorname{e}^{kx} = 0 \ \ \Rightarrow \ \ \forall k: \ \lambda_k = 0 \end{eqnarray*}$

oder du weist die Kontraposition nach:

$\begin{eqnarray*} \exists k: \ \lambda_k \neq 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sum_{k=1}^n \lambda_k \operatorname{e}^{kx} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Natürlich ist bei der Funktionensumme mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ immer die Nullfunktion gemeint, und es erstrecken sich die Quantoren auf die Menge $\begin{eqnarray*} \{ 1,2,\ldots,n \} \end{eqnarray*}$ .

Du nimmst nun die Voraussetzung der Kontraposition und machst im gleichen Atemzug deren Behauptung zur Annahme. Irgendwie geht das nicht.

+ @ WebFritzi

Im übrigen ist der Fundamentalsatz der Algebra ein viel zu schweres Geschütz. Es reicht, wenn man weiß, daß das Nullpolynom das einzige reelle Polynom mit unendlich vielen Nullstellen ist (jedes Polynom von einem Grad größer oder gleich 0 hat nämlich höchstens so viele Nullstellen, wie der Grad angibt). Denn dann kann man mit Hilfe des Polynoms $\begin{eqnarray*} p(t) = \sum_{k=1}^n \lambda_k t^k \end{eqnarray*}$ schließen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \lambda_k \operatorname{e}^{kx} = 0 \ \ \Rightarrow \ \ p \ \text{hat unendlich viele Nullstellen} \ \ \Rightarrow \ \ p = 0 \ \ \Rightarrow \ \ \forall k: \ \lambda_k = 0 \end{eqnarray*}$

01.04.2008, 21:13

Mathespezialschüler

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Ehrlich gesagt weiß ich auch nicht mehr, was ich mir dabei gedacht hab. Eigentlich wollt ich auf deinen letzten Gedankengang hinaus. Da hab ich es mir wohl anscheinend unnötig kompliziert gemacht. verwirrt

Danke für das aufmerksame Auge!

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