Ziehen mit Zurücklegen

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Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen mit Zurücklegen
Hallo Leute, ich brauche Hilfe für meine kommende Klausur.
Wir haben eine Übungsaufgabe bekommen, die Lösung dafür aber nicht. Problem ist, dass wir in der ersten Stunde nach den Ferien schon schreiben!! *Panik*
Nun ist meine Bitte: Ob mir einer beim lösen dieser Aufgabe nicht helfen kann, damit
ich wenigstens einen Ansatz habe, der wenigstens richtig ist.
Aufgabe:
In einer Urne befinfen sich 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln.
Es werden n Kugeln mit zurück legen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln und die Zufallsgröße Y die Anzahl der gelben Kugeln unter den gezogenen Kugeln.

a) n=8
Wie würde denn da die Binomialverteilung der Zufallsgröße X aussehen?
Wie würde der Erwartungswert und die Standardabweichung von X aussehen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von X den Erwartungswert E(X)?

b)Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert der zufallsgröße Y größer als 5 ist?
Wie groß ist die Standartabweichung von Y?

c)Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert von X mindestens 1 ist?

d)Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, wenn mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Rote Kugel gezogen werden soll?

Für mich ist das momentan noch ein großes Fragezeichen!!
Ich habe meine Freunde schon gefragt und die verstehen es ebenfalls nicht!
Es wäre sehr nett, wenn sich einer findet, der mir das erklären könnte, damit ich halbwegs durch die Klausur komme.

Danke schon mal im voraus
Der Dennis

Edit: Keine Hilferufe im Titel!!! Hilfe braucht hier jeder! mY+
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwas weisst du doch bestimmt =)

Die Formel für den Erwartungwert einer binomialverteilten Zufallsvariablen oder die Bedeutung der Parameter n und p bei einer Binomialverteilung wäre schonmal ein Anfang.

Poste doch mal was dir so dazu einfällt und wo genau deine Probleme liegen.
Einfach nur zu sagen, dass du ALLES nicht verstehst ist etwas zu wenig...werde bitte konkreter, dann kann man dir gezielter helfen smile

Gruß Björn
 
 
buh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche hilfe für die Klausur!!
huhu
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Wink

Möchtest du auch was fragen ? Dann gönn dir einen eigenes Thread. Dieser hier ist NUR für Dennis smile
Buh Auf diesen Beitrag antworten »

Im Anhang also die Lösung!

LG


Edit (Dual Space): Anhänge entfernt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt nicht drüber geschaut ob es richtig ist, muss dich aber leider enttäuschen, denn deine Arbeit wird leider umsonst gewesen sein weil Lösungen hier immer entfernt werden.

Siehe hier:

Prinzip "Mathe online verstehen!"

Naja, für das nächste Mal weisst du dann bescheid smile

Gute Nacht
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
... muss dich aber leider enttäuschen, denn deine Arbeit wird leider umsonst gewesen sein weil Lösungen hier immer entfernt werden.

So ist es. Augenzwinkern
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche hilfe für die Klausur!!
Also habe in meinem Hefter nachgeschaut und diese Fromel für Aufgabe a) gefunden:
P(X=k)=B(n,p,k)
Ich kann aus der Aufgabe entnehmen, dass n=8 ist.
P(X=k)=B(8,p,k) Wie finde ich p und k??
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch etwas gefunden:
Weil wir X suchen ist k=4 weil wir ja die roten Kugeln betrachten.
Ist das richtig??
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe für die Klausur
4/20 sind 0,2 dann müsste ich das in die Bernoulli-Kette eingeben und bekomme
0,0459 heraus.
Bitte berichtigt mich wenn ich etwas falsches mache!!
Dann ist die Verteilung wie folgt: P(X=k)=B(8;4;0,0459)
Stimmt das??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Man merkt dass das für dich alles noch Neuland ist. Deswegen empfehle ich dir statt irgendwie wild drauf los zu rechnen erstmal mit dem allgemeinen Verständnis für Bernoulli-Experimente loszulegen bevor es ans rechnen geht.

Das Charakteristische an einem Bernoulli-Experiment ist, dass man sich für genau 2 Ergebnisse interessiert, nämlich entweder für das Eintreffen eines Ereignisses (Kugel ist rot) oder das Nicht-Eintreffen desselben Ereignisses (Kugel ist nicht rot).
Passend dazu beschreibt man ein solches Experiment durch eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung - der Binomialverteilung.

Auf deine Aufgabe bezogen bedeutet das folgendes:

Es gibt schon bereits vordefinierte Zufallsvariablen X bzw Y, die die Anzahl der roten bzw der gelben Kugeln bei n=8 Wiederholungen des Experiments zählen.

Bei Aufgabe a) beschränken wir uns erstmal auf die Variable X und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da es insgesamt 4 rote Kugeln gibt können beim Ziehen mit Zurücklegen bei den n=8 wiederholten Zügen entweder k=0,1,2,3 oder 4 rote Kugeln dabei sein. Entscheidend ist nun noch die Trefferwahrscheinlichkeit p, welche angibt, wie wahrscheinlich es ist bei jedem Zug eine rote Kugel zu ziehen.

Hier habe ich dir nun beschrieben was die Parameter n,k und p der Binomialverteilung bedeuten. Zu einer vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört es nun, für ALLE möglichen Werte von k eine entsprechende Wahrscheinlichkeit anzugeben. Für k=0 folgt die Wahrscheinlichkeit P(X=0)=B(n,p,0)=... usw

Man kann diese Wahrscheinlichkeiten nun manuell mit einer bestimmten Formel berechnen, die auch den Binomialkoeffizienten beinhaltet oder aber man schlägt eine schlaue Tabelle auf, die die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für das gegebene n,p und k bereit hält. Auf welche Art ihr das berechnet hat musst DU mir sagen Augenzwinkern

Ist dir nun etwas klarer was du machen musst bzw worum es geht ?

Gruß Björn
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also ich habe so ne komische Tabelle bei mir im Hefter gefunden.
Ist es den richtig, was ich ausgerechnet habe??
Weil so wie du es mir erklärt hast, konnte es das sein.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Nee Moment müsste es nicht so aussehen?
P(X=k)=B(8;0,0459;4)??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein so:

für k=4 gilt:

P(X=4)=B(8;0,2;4) = 0,0459 (Verwechsle nicht p mit P )

Und das musst du wie gesagt für ALLE Werte machen, die k annehmen kann.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe für die Klausur
also
P(X=4)=B(8;0,2;4) = 0,0459
P(X=3)=B(8;0,2;3) = 0,1468
P(X=2)=B(8;0,2;2) = 0,2936
P(X=1)=B(8;0,2;1) = 0,3355
P(X=0)=B(8;0,2;0) = 0,1678

Verstehe....
Muss ich jetzt beim Erwartungswert so errechnen für k=4?
u=E(X)=n•p =>5•0,2=1??

Und die Standardabweichung für k=4 so?
o=Wurzel aus n•p(1-p) => Wurzel aus 5•0,2•(1-0,2)=0,8??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Wahrscheinlichkeiten jetzt nicht alle überprüft, aber wenn alles aufaddiert 1 ergibt sollte es wohl passen Augenzwinkern

Beim Erwartungswert und der Standardabweichung musst du n=8 wählen, daran ändert sich ja nichts - wie kommst du auf n=5 ? Und das k ist in der Formel ja eh nicht enthalten und spielt somit keine Rolle.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh das mit der 5 ist ein Tippfehler!!

Das habe ich nun auch verstanden, doch wie löse ich die 3. Frage von a).
Was muss ich da genau machen?
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Erwartungswert
u=E(X)=n•p =>8•0,2=1,6

Und die Standardabweichung
o=Wurzel aus n•p(1-p) => Wurzel aus 8•0,2•(1-0,2)=1,28

Brauch ich die, um die 3. Frage von a) zu lösen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von X den Erwartungswert E(X)?


Der Erwartungswert ist ja eine Art Mittelwert....er gibt an mit welcher Anzahl roter Kugeln man bei 8 Zügen im Schnitt auf lange Sicht rechnen kann, wenn man den Versuch ganz oft wiederholt.

Ich könnte mir vorstellen dass du hier das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die den Erwartungwert überschreiten gegenüber der Anzahl ALLER möglichen Werte, die X annehmen kann, bilden sollst.
Evtl kann man auch die Ungleichung von Tschebyscheff hier einbringen...müsste ich nochmal drüber nachdenken bzw könnte jemand anderes nochmal Stellung zu nehmen.
Hattet ihr diese Tschebyscheff-Ungleichung schon ?

Gruß Björn
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir relativ sicher, dass wir das noch nicht hatten.
Habe gerade nochmal in meinem Hefter geschaut und weiß jetzt selber nicht, wie ich das lösen sollte.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mache es ruhig wie oben beschrieben mit dem Quotienten aus günstigen und allen Möglichkeiten.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Ich könnte mir vorstellen dass du hier das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die den Erwartungwert überschreiten gegenüber der Anzahl ALLER möglichen Werte, die X annehmen kann, bilden sollst.


Also 1,6/5??
ergibt 0,32 ist das richtig??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit sagst du dass 1,6 Werte den Erwartungswert überschreiten, das ist aber nicht so.
Zähle einfach ab wieviele Werte von X von größer als 1,6 sind.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe für die Klausur
Zitat:
Original von Dennis F.
also
P(X=4)=B(8;0,2;4) = 0,0459
P(X=3)=B(8;0,2;3) = 0,1468
P(X=2)=B(8;0,2;2) = 0,2936
P(X=1)=B(8;0,2;1) = 0,3355
P(X=0)=B(8;0,2;0) = 0,1678


Da geht kein Wert über 1,6!!
Ich verstehe das nicht...*jammer*
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nicht von den Wahrscheinlichkeiten gesprochen sondern von den Werten, die die Zufallsvariable X annehmen kann, welche ja die roten Kugeln zählt.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Also müssten es dann 2,3,4 sein also 3!!
Richtig??
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann 3/5??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooooo!!
Der wert müsste dann 0,6 sein!!
Juhuu du bist ein Schatz!!
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt zu 5 komme, müsste ich es schon gelöst haben...


Erwartungswert
u=E(X)=n•p => n=?
p=6/20=0,3

u=E(X)=17•0,3=5,1
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine aufgabe b)
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Standardabweichung so?
o=Wurzel aus n•p(1-p) => Wurzel aus 17•0,3•(1-0,3)=0,87
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hoffe, dass es richtig ist, weil dann habe ich es richtig verstanden!!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

WENN man bei c) mit n=17 weiterrechnen soll, dann hast du zwar richtig eingesetzt, aber wohl falsch in den Taschenrechner eingegeben.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

wieso denn??
Man kommt nur mit >17 über den Erwartungswert von 5 bei b)
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

laut meiner Rechnung muss man 5 für n einsetzen...(in aufgabe c)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Schon klar, nur ob man dann bei der anderen Teilaufgabe mit der Standardabweichung auch mit diesem n weiterrechnen soll ist die Frage. Wenn ja, dann hast du wie gesagt richtig eingesetzt, dich aber anscheinend verrechnet.
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Achso... wenn ich jetzt richtig eingetippt habe, dann kommt 1,89 raus. hoffe ich..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau =)
Dennis F. Auf diesen Beitrag antworten »

Und ist es richtig, wenn ich den Erwartungswert so rechne??
u=E(X)=n•p => n=? p=0,2
u=E(X)=5•0,2=1
kann ich das so hinschreiben??
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