Komplexe Zahlen

20.09.2005, 16:26

-TS-

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Komplexe Zahlen

Hallo,

habe hier eine Aufgabe aus dem Gebiet "komplexe Zahlen" vor mir liegen und würde diese gerne lösen.

Habe mich noch nicht sonderlich mit dem Thema auseinandersetzen können, daher meine Frage, wie geht man an solche Aufgaben ran?

$\begin{eqnarray*} \frac{3j}{2+5j\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung heisst zunächst berechnen und in kartesischer sowie Exponentialdarstellung angeben.

Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen.

20.09.2005, 16:38

Denjell

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[Workshop] Komplexe Zahlen

schau dir mal den Workshop an

20.09.2005, 17:29

TS

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sieht doch schon komplizierter aus als ich vermutet hatte..

j ist also die sog. imaginäre Einheit und j ist gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert mit einer reellen Zahl, in diesem Fall mit der 3 bildet es eine sog. imaginäre Zahl 3j.

Und wenn eine sog. Imaginäre Zahl mit einer reellen Zahl addiert wird, redet man von komplexen Zahlen, wie hier z.B. im Nenner

$\begin{eqnarray*} 2 + 5j \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

korrekt?

Wie gehe ich denn jetzt weiter, bzw was genau sollte denn mein Ziel sein? Kann man soll einen Ausdruck überhaupt ohne weiteres vereinfachen?

Also ich versuche dann mal die Divisionregel anzuwenden und hoffe, dass das ohne weiteres geht..

$\begin{eqnarray*} \frac{3j * (2 - 5j\sqrt{2}) }{(2 + 5j \sqrt{2})* (2 - 5j\sqrt{2}) } \end{eqnarray*}$

ist das so ok, oder habe ich da was nicht beachtet?

20.09.2005, 17:47

therisen

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Doppelpost zusammengefügt

Ja, der Ansatz ist richtig.

20.09.2005, 17:57

TS

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Danke..

$\begin{eqnarray*} \frac{3j * (2 - 5j\sqrt{2}) }{(2 + 5j \sqrt{2})* (2 - 5j\sqrt{2}) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6j-15j^2\sqrt{2}}{4-10j\sqrt{2}+10j\sqrt{2}-25j^2\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6j+15\sqrt{2}}{4+25\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

so korrekt?

21.09.2005, 17:12

TS

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nicht gut ?

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21.09.2005, 17:22

therisen

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Hi,
fast gut: Was ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

Gruß, therisen

21.09.2005, 20:42

TS

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Oh, verstehe.. hab ich was übersehen..

dann muss es also heißen :

$\begin{eqnarray*} \frac{6j - 15j^{2} \sqrt{2} }{4-25j^2\sqrt{2}^2} \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{6j + 15 \sqrt{2} }{4 +25*2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6j + 15 \sqrt{2} }{54} \end{eqnarray*}$

ist das korrekt, wenn ja
wie gehts dann weiter?

21.09.2005, 21:01

therisen

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Ja, das sieht gut aus.

Jetzt musst du den Bruch eben noch in die Form a+bi bringen, dann erhältst du als Darstellung (a,b), was kartesische Koordinaten sind. Für die Exponentialdarstellung siehe Workshop.

Gruß, therisen

21.09.2005, 21:12

mercany

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Nur mal was zur Notation:

Man schreibt eigentlich $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

21.09.2005, 21:44

derkoch

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Zitat:

Original von mercany
Nur mal was zur Notation:

Man schreibt eigentlich $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

muß dich leider enttäuschen jan! traurig

traurig

es gibt beide formen, sowohl i als auch j.

21.09.2005, 21:46

DGU

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afaik ist "i" die in der Mathematik, "j" die in der Physik / in Ingenieurswissenschaften gebräuchlichere Variante

21.09.2005, 21:53

mercany

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alles klar, ich nehme alles zurück und lasse mich einem besseren belehren!

hab j allerdings auch noch nie in physikbüchern gehsehen... ich werd mal drauf achten smile

smile

gruß, jan

21.09.2005, 22:05

AD

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Und der Grund dürfte der folgende sein: In der Wechselstromtechnik wird ja bekanntlich mit komplexen Zahlen gerechnet (komplexe Widerstände usw.). Und da die Stromstärke bereits das Symbol $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ besetzt, musste halt die imaginäre Einheit ausweichen, um Verwechslungen zu vermeiden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2005, 13:39

TS

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Zitat:

Original von therisen

Jetzt musst du den Bruch eben noch in die Form a+bi bringen

wie bringe ich den Bruch den am besten in die Form?

ich könnte einfach durch den Nenner dividieren, aber das wäre nicht so gut oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{6j}{54} + \frac{15\sqrt{2}}{54} \end{eqnarray*}$

dann wäre $\begin{eqnarray*} \frac{15\sqrt{2}}{54} \end{eqnarray*}$ mein a

und $\begin{eqnarray*} \frac{6}{54} \end{eqnarray*}$ mei b

geht das so, oder doch nicht so gut?

22.09.2005, 14:26

therisen

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Ganz genau.

22.09.2005, 14:52

TS

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dann ist also $\begin{eqnarray*} \frac{15\sqrt{2}}{54} \end{eqnarray*}$ der Realteil Re(z)

und $\begin{eqnarray*} \frac{6}{54} \end{eqnarray*}$ Imaginärteil Im(z)

und ich brauche nicht vereinfachen und mit kann mit den Werten weiterrechnen?

Ok, dann versuche ich es mal mit der Exponentialform.

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{} (\frac{15\sqrt{2} }{54})^2 + (\frac{6}{54})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = 0,41 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} phi = arctan ( \frac{\frac{6}{54} }{\frac{15\sqrt{2} }{54}}) = 15,8° \end{eqnarray*}$

und daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} z = 0,41*e^{i*15,8°} \end{eqnarray*}$

korrekt?

22.09.2005, 15:19

therisen

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Hi,
sieht ganz gut aus, hab jetzt nicht alles nachgerechnet. Aber: Du darfst nicht runden!

22.09.2005, 15:31

DGU

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üblicherweise werden die winkel im bogenmaß angegeben, ist aber natürlich nicht falsch im gradmaß Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2005, 15:48

TS

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Ich darf nicht runden?

oh, dann wird wohl einiges falsch sein geschockt

geschockt

naja, was solls, hauptsache der Rechenweg stimmt erstmal, den Rest rechne ich nachher nochmal nach Freude

Freude

Bogenmaß müssten es 0,275 sein, oder?

Habe da noch eine Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiß, wie ich dranzugehen habe.. Auch aus dem Bereich Komplexe Zahlen deshalb mache ich einfach hier weiter..

gegeben :

$\begin{eqnarray*} z = -8 +8\sqrt{3} * i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} \end{eqnarray*}$

Frage : Wieviele Lösungen gibt es? verwirrt

verwirrt

22.09.2005, 22:29

TS

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$\begin{eqnarray*} z = -8 +8\sqrt{3} * i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} \end{eqnarray*}$

Ich habs jetzt mal versucht..

Soweit ich verstanden habe muss a und b zunächst in Polarform umgerechnet werden.

$\begin{eqnarray*} a = r * cos (phi) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b = r * sin (phi) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} phi = arctan (\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$

ist..

Meine Ergebnisse :

r = 16

phi = -83.8°

a = 1,728

b = -15,91

eingsetzt in folgende Formel :

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} * cos(\frac{phi}{n}) + sin (\frac{phi}{n}) *i \end{eqnarray*}$

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} = 1,868 + 0,42i \end{eqnarray*}$

so richtig?

23.09.2005, 08:24

Denjell

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da fehlt noch was, afaik sinds n mögliche Ergebnisse, also in deinem Beispiel mlüsstens 4 sein

23.09.2005, 13:47

TS

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also ich habe hier diese Formel aus dem Workshop,
verstehe aber nicht ganz wofür das k steht..

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{r} * (cos(( phi + 2\pi *k)/n)+sin((phi+2\pi *k)/n)*i) \end{eqnarray*}$

23.09.2005, 13:52

therisen

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Hi,
steht doch im Workshop auch mit dabei:

Hier willst du die 4. Wurzel ziehen, also erhältst du vier mögliche Werte. Den ersten für k=0, den zweiten für k=1, ..., den vierten für k=3... Alles klar?

Gruß, therisen

23.09.2005, 15:00

TS

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ok,

dann habe ich vier Rechnungen mit jeweils k=0,1,2,3
wobei k=0 schon gelöst ist..

allerdings habe ich bemerkt, dass ich dort einen Fehler gemacht habe..
Habe mit n multipliziert, statt zu dividieren..
Die Lösung muss lauten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} = 1,868 - 0,716i \end{eqnarray*}$

für k= 1

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} = 1,886 - 0,663i \end{eqnarray*}$

für k = 2

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} = 1,904 - 0,612i \end{eqnarray*}$

und für k = 3

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{z} = 1,92 - 0,56i \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

Im Workshop steht noch was vom Bogenmaß für k?

Muss ich da was beachten?

23.09.2005, 16:43

therisen

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Du musst den Winkel phi im Bogenmaß einsetzen, ansonsten macht das 2Pi nämlich keinen Sinn... Evt. kannst du es durch ein 360° statt 2Pi retten, aber wozu die Umstandskrämerei?

Gruß, therisen

23.09.2005, 17:27

TS

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d.h. es ist alles falsch..

also muss ich immer zunächst den Winkel phi = -83,8° ins Bogenmaß umrechnen.

$\begin{eqnarray*} x^{rad} = \frac{-83,8*\pi}{180°} = -1,462585913 \end{eqnarray*}$

und mit dem wert komme ich natürlich auf ganz andere Ergebnisse..

k = 0

1,9999 - 0,0128i

k = 1

1,9994 + 0,0402i

k = 2

1,9976 + 0,0966i

k= 3

1,9944 + 0,1516i

kann das vielleicht jemand mal nachrechnen?

23.09.2005, 23:42

TS

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Zitat:

Original von therisen
Hi,
sieht ganz gut aus, hab jetzt nicht alles nachgerechnet. Aber: Du darfst nicht runden!

Habe mir die erste Aufgabe nochmal angeschaut, wollte sie mal ohne zu runden lösen, aber wie löse ich denn die Aufgabe am besten ohne zu runden?

Der Taschenrechner rundet ja auch und als Lösung bekomme ich eine Zahl mit einigen Nachkommastellen, irgendwo muss ich ja runden, oder nicht?

Nochmal zur Erinnerung die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{} (\frac{15\sqrt{2} }{54})^2 + (\frac{6}{54})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} phi = arctan ( \frac{\frac{6}{54} }{\frac{15\sqrt{2} }{54}}) \end{eqnarray*}$

24.09.2005, 11:06

therisen

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Hallo,
zur Kontrolle: Ich erhalte als Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^4=-8+8i*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ (entspricht deiner 4. Wurzel aus z) folgende 4 Werte:

$\begin{eqnarray*} 1-i\sqrt{3} \\ -1+i\sqrt{3} \\ \sqrt{3}+i \\ -i-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

25.09.2005, 14:30

TS

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Hallo,

kannst du mir einen Gefallen tun und mir mal vorrechnen wie du auf die Ergebnisse kommst? Ich glaube ich habe bei der Berechnung von phi einen Fehler, aber selbst mit dem neuen Wert komme ich nicht auf deine Ergebnisse..

Danke..

25.09.2005, 14:36

therisen

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$\begin{eqnarray*} \varphi =\arctan \frac{b}{a}=\arctan \frac{8\sqrt{3}}{-8}=-\frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$
Wie gesagt, du darfst nicht Runden... Brauchst du auch nicht, wie du siehst Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{64+64\cdot 9}=8\sqrt{10} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

25.09.2005, 14:46

TS

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$

habe ich auch raus,

aber wieso?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{64 + 64 * 9} \end{eqnarray*}$

25.09.2005, 15:54

therisen

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Na weil $\begin{eqnarray*} r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a:=-8 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b:=8\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Ich glaube, ich habe dir das falsche $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ vorhin angegeben.

Es hätte $\begin{eqnarray*} \varphi =\arctan{\frac{b}{a}}+\pi=\arctan{\frac{8\sqrt{3}}{-8}}+\pi=\frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ heißen sollen (siehe Arthur Dent), da $\begin{eqnarray*} a=-8<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=8\sqrt{3}>0 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

25.09.2005, 15:57

TS

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aber muss da statt *9 nicht mal *3 stehen?

25.09.2005, 16:09

therisen

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Ja, du hast Recht, da hab ich nicht aufgepasst.

25.09.2005, 16:12

TS

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ok,

und das mit phi hängt dann also quasi von den Vorzeichen der x und y Werten ab?

gut werds dann mal mit den Werten versuchen auszurechnen..

also

$\begin{eqnarray*} phi = \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} r = 16 \end{eqnarray*}$

daraus folgt

bei z.B. k = 2

$\begin{eqnarray*} 2 * (cos(1\frac{1}{6}* \pi ) ) + sin (1\frac{1}{6}* \pi ) * i) \end{eqnarray*}$

allerdings wüsste ich jetzt wieder nicht, wie ich ohne zu runden am besten weiterrechnen könnte...

25.09.2005, 16:42

therisen

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Ja.

EDIT Hab mich verlesen. Moment

Gruß, therisen

25.09.2005, 16:46

TS

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verstehe ich nicht, wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$

25.09.2005, 17:00

therisen

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$\begin{eqnarray*} \cos{ \frac{7\pi }{6} }= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin{ \frac{7\pi }{6} }= -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

25.09.2005, 17:02

TS

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aha ...

verwirrt

jetzt musst du mir erklären wie du darauf kommst....

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