universelle eigenschaft

20.09.2005, 17:33	stokessss	Auf diesen Beitrag antworten »
universelle eigenschaft hallo was ist die univerelle eigenschaft von einem objekt genau? habe mir schon bei wikipedia den text durchgelesen aber verstehe trotzdem nicht ganz was es sein soll.(katogorien wurden noch nicht durchgenommen bei uns) wozu brauch man die genau und vorallem wie muss man vorgehen um eine u.eigenschaft zu bestimmen. blicke da irgendwie nicht ganz durch.
20.09.2005, 21:41	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ohne Kategorientheorie kann man dazu eigentlich nicht so viel sagen, da die den verschiedenen algebraischen Strukturen gemeinsamen Eigenschaften dann nicht wirlich gut sichtbar werden. Ich mache lieber ein paar Beispiele: Eine universelle Eigenschaft eines Objektes ist eine besondere Eigenschaft, die dieses Objekt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Du kennst ja bestimmt die Faktorstrukturen M/N (ob du hier jetzt eine Gruppe mit einem Normalteiler, einen Modul mit einem Untermodul oder sonst irgendwas nimmst, spielt absolut keine Rolle). Dann ist die universelle Eigenschaft des Paares (M/N, $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ), wobei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die kanonische Projektion bezeichnet, dass ein Morphismus, dessen Kern N enthält, eindeutig über diesem Paar faktorisieren. Das ist nichts anderes als der Homomorphiesatz. Die Faktorstrukturen sind durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, wie alle universellen Objekte. Ein anderes Beispiel ist das kartesische Produkt von Mengen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ . Es ist ein Produkt in der Kategorie der Mengen und erfüllt damit die universelle Eigenschaft, dass Abbildungen $\begin{eqnarray} f_i:N\to X_i \end{eqnarray}$ von einer Menge N eindeutig über dem Produkt mit den kanonischen Projektionen faktorisieren, d.h. es gibt eine eindeutige Abbildung $\begin{eqnarray} h:N->P \end{eqnarray}$ in das kartesische Produkt P der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \pi_i\circ h=f_i \end{eqnarray}$ für alle i gilt, wobei $\begin{eqnarray} \pi_i \end{eqnarray}$ natürlich die kanonische Projektion bezeichnet (das malt man sich schöner mit einem Diagramm auf). Das Gegenstück ist die disjunkte Vereinigung der Mengen, bei der Abbildungen in die andere Richtung über die kanonische Inklusion faktorisieren, die Details kannst du dir selbst überlegen (das ist wieder die universelle Eigenschaft der disjunkten Vereinigung, auch Koprodukt in der Kategorie der Mengen genannt). Produkte kann man in verschiedenen Kategorien betrachten, bei den Gruppen ist zum Beispiel das direkte Produkt ein Produkt und erfüllt damit auch die oben beschriebene universelle Eigenschaft. Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen. Gruß edit: LaTeX-Code verbessert. (MSS)

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