Logarithmusfunktion

25.03.2008, 16:52

Lommy

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Logarithmusfunktion

Ach ja, meine Lieblingsfunktionen. Seit ihrer Einführung rauben sie mir regelmäßig Nerven und leider haben sie bis jetzt zum Abi (selbstverständlich) nicht losgelassen.... ^-^°
Ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{ln(ax)}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ (x>0). Davon soll ich die Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen und die Koordinaten der Extrempunkte (u.a.). Da ich bei Logarithmusfkt. immer ein ungutes Gefühl hab, bin ich mir auch bei meinen Lösungen nicht sicher. Wäre nett wenn mal wer rüber schauen könnte.
Zu den Nullstellen:
ln-Funktionen werden ja 0 wenn die Sache in den Klammern (Wie heisst das eigentlich? Oo) 1 ist. Mit dem Fakt im Hinterkopf komme ich aber nur auf eine Nullstelle ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ /0) aber es wird ja nach mehreren Nullstellen gefragt. Oo
Auch bei den Extrempunkten komme ich nur auf eine Lösung obwohl nach Extrempunkten gefragt wird. Auch die Koordinaten $\begin{eqnarray*} \frac{ln(e^\frac{a}{2})}{a} / \frac{0,5a^{3}}{e^a } \end{eqnarray*}$ kommen mir spanisch vor.
Stimmt die erste Ableitung mit $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x}{a}-2x ln(ax)}{(x^{2})^2} \end{eqnarray*}$ überhaupt?

25.03.2008, 17:14

derkoch

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Hab nur kurz deine Ableitung überflogen, aber sie kommt mir sehr spanisch vor!

25.03.2008, 17:24

Duedi

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Sry deine Ableitung ist nicht richtig. Zeige uns doch mal deinen Rechnenweg.

25.03.2008, 17:45

Lommy

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omg, latex in Massen... u.u
Ich tu mich immer noch schwer damit, aber immerhin besser als ganz ohne Hilfsmittel. ^-^
Also, die ganze Sache muss (kann wenn man nicht umstellen will) man ja mit der Quotientenregel angehen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2} \end{eqnarray*}$
Dabei denke ich dass $\begin{eqnarray*} u'=\frac{1}{ax} \end{eqnarray*}$ (Oder mache ich mir das hier zu leicht und f(x)=ln(x) -> f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ funktioniert nur wenn nur eins in den Klammern steht?) und v'=2x sind. Damit hätten wir $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{ax}*x^2-2x*ln(ax)}{x^4} \end{eqnarray*}$ und zusammengefasst. bzw. gekürzt komme ich auf das Ergebnis vom ersten Post.
Stimmt denn wenigstens die Sache mit den Nullstellen?

25.03.2008, 18:31

manito

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die stimmt definitiv smile

smile

aber beim ableiten auf die kettenregel achten bei ln(ax)...

25.03.2008, 18:33

Lommy

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Die Ableitung oder die Nullstelle? ^-^°

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25.03.2008, 18:34

manito

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hm zu spät...

die nulstelle ^^

25.03.2008, 18:38

Lommy

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ln(ax) muss über Kettenregel abgeleitet werden? Oo Ach du Sch***** u.u
Danke für die Hilfe

25.03.2008, 18:56

manito

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nein, das war alles mist Big Laugh

Big Laugh

keine kettenregel

ln(ax) ist abgeleitet einfach 1/x

denn ln(ax) = lnx + lna

lna als Konstante fällt weg beim ableiten...

jaja, das kommt davon wenn man in bw nichts mit ln-Funktionen zu tun hat...

sorry...

25.03.2008, 19:18

Lommy

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Mah, stimmt ja, ln(a) ist konstant... u.u
Warum überseh ich solche Sachen immer? >.<

25.03.2008, 19:57

Lommy

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Warum kann man Beiträge nur so kurz bearbeiten? So schnell bin ich nicht im rechnen... ^-^°
Auf alle Fälle komm ich immer noch nicht klar.
Mittlerweile bin ich mit meiner Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x-2xln(ax)}{x^4} \end{eqnarray*}$ angelangt, aber auch das kann ich zu keiner vernünftigen Lösung zurechtbiegen... u.u
$\begin{eqnarray*} u'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und v'=2x, soweit müsste das ja nun endlich mal richtig sein. Wenn die die Formel dann zusammenfasse und kürze komme ich auf eben diese Ableitung. Wenn ich die aber 0 setzte, komm ich nur bis $\begin{eqnarray*} 2xln(ax)=x \end{eqnarray*}$ .
Mhm.... und nun? Könnte höchstens noch $\begin{eqnarray*} ln(ax)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ daraus machen, das hilft mir aber auch nicht weiter. Das einzige was ich aus dem Unterricht noch kenne ist den Log auf eine e-Fkt umzustellen, aber ob man das einfach so machen kann, weiss ich nicht. Ich hab nur Beispiele gefunden mit ln(x) und selbst wenn ich es trotzdem mache komme ich auf $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{x}}=ax \end{eqnarray*}$ was mich wiederrum nicht weiter bringt.

25.03.2008, 20:10

manito

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klammer mal im zähler x aus, das lässt sich dann auch mit dem nenner kürzen

dann müsstest du zu einer lösung kommen

25.03.2008, 20:14

derkoch

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Das ist ja munteres Ratespiel hier!

Halten wir mal fest:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{ln(ax)}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{\frac{1}{ax}\cdot x^2-2x \cdot ln(ax)}{x^4} = \frac{x-2\cdot x \cdot ln(ax)}{x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} NS=(\frac{1}{a}/0) \end{eqnarray*}$

Für Extrema betrachte den Zähler deiner Ableitung!

25.03.2008, 20:21

manito

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Und nun?
Durch ausklammern klappts doch...

Da is dir aber auch kurz ein a zu viel reingerutscht smile

smile

25.03.2008, 20:32

Lommy

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Okay, langsam müsste es ja was werden. Ich komme jetzt auf $\begin{eqnarray*} 0=1-2ln(ax) \end{eqnarray*}$ und damit auf $\begin{eqnarray*} x=\frac{e^{0,5}}{a} \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in die Originalformel komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2e} \end{eqnarray*}$ , das sieht ja zumindest halbwegs manierlich aus. Lieg ich damit dann jetzt als Extrempunkt richtig?

Edit: derkoch verwirrt mich jetzt noch mehr... kann es sein, dass bei x=0 auch noch eine ist? Oo

25.03.2008, 20:44

derkoch

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Zitat:

Original von Lommy
.......
Edit: derkoch verwirrt mich jetzt noch mehr... kann es sein, dass bei x=0 auch noch eine ist? Oo

Diese Frage solltest du dir selber beantworten können!

25.03.2008, 20:52

Lommy

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Gut, nach eingehender Betrachtung des Posts und meines Arbeitsblattes ist mir das hübsche x>0 aufgefallen, damit fällt das ja schon mal unter den Tisch. *verkriech* Also doch $\begin{eqnarray*} E(\frac{e^{0.5}}{a} / \frac{a²}{2e}) \end{eqnarray*}$ , jetzt nur noch die zweite Ableitung zurechtbekommen um die Art des Extrempunktes zu bestimmen. Das kann auch noch mal ein ziemlicher Akt werden... ^-^°

25.03.2008, 21:43

Lommy

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Für die zweite Ableitung komm ich aus so etwas krummes wie $\begin{eqnarray*} - \frac{2ln(ax)-1}{x^4} - \frac{x-2xln(ax)}{4x^5} \end{eqnarray*}$ und da x und a nach Definition positiv sind, müsste es alles in allem negativ werden und damit ein lokales Minimum, oder? Allerdings finde ich die Ableitung wieder ziemlich... naja, nenn wir es bedenklich. Wie wäre der einfachste Weg die zweite Ableitung zu bilden? Ich hab die erste jetzt in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4} * (x-2xln(ax) \end{eqnarray*}$ zerlegt um es mit der Produtregel zu berechnen, aber irgendwie ist auch das ziemlich umständlich und kompliziert, das zieht Fehler grade zu magisch an.

25.03.2008, 22:51

derkoch

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HAb jetzt keine Lust Hypothesen aufzustellen, wie man auf deine zweite Ableitung kommt, aber mein Tip:

Kürze erstmal in der 1. Ableitung , splitte es in zwei Summanden auf und dann ist es relativ einfach!

26.03.2008, 14:53

Lommy

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Gut, langsam komm ich mir mächtig doof vor, aber egal. Es scheint immer noch nicht ganz hinzukommen wie es soll. Ein Mitschüler von mir meinte, dass $\begin{eqnarray*} \frac{6ln(ax)-5}{x^4} \end{eqnarray*}$ dabei heraus kommen soll. Ich komme allerdings auf $\begin{eqnarray*} \frac{6ln(\frac{a}{x})-1}{x^3} \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Forum Kloppe

Mit dem kürzen und in Summanden aufteilen meintest du doch bestimmt das hier: $\begin{eqnarray*} \frac{1-2ln(a)+2ln(x)}{x^3} \end{eqnarray*}$ dabei wäre dann doch $\begin{eqnarray*} u'=\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=3x^2 \end{eqnarray*}$ und wenn ich das dann mit der Quotientenregel durchrechne komme ich auf das scheinbar falsche Ergebnis. traurig

traurig

26.03.2008, 15:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{\frac{1}{ax}\cdot x^2-2x \cdot ln(ax)}{x^4} = \frac{x-2\cdot x \cdot ln(ax)}{x^4} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{\frac{a}{ax}\cdot x^2-2x \cdot ln(ax)}{x^4} = \frac{x-2\cdot x \cdot ln(ax)}{x^4} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auseinanderziehen der Summanden führt zu: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x^3} - 2 \frac{ln(ax)}{x^3} \end{eqnarray*}$

Das ableiten sollte nicht so schwierig sein. smile

smile

26.03.2008, 15:46

Lommy

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Ich habs!! geschockt

geschockt

Vielen Dank für eure Hilfe und Gedult, was lange währt wird endlich gut. Blumen

Blumen

Aber eure Summanden haben mich verwirrt, das sind doch keine Summanden, oder? Heißt das bei Subtraktion nicht Minuend und Subdrahend? Aber mir solls egal sein, ich hab das endlich hinbekommen, danke danke danke! *chu*

26.03.2008, 15:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lommy
Heißt das bei Subtraktion nicht Minuend und Subdrahend?

Genau genommen hast du Recht. Wenn man a - b = a + (-b) schreibt hat man dann wieder eine Summe. Deswegen nutze ich den verkürzenden Begriff "Summe". Augenzwinkern

Augenzwinkern

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