Konvergenz einer Zahlenfolge

26.03.2008, 11:17

tim taler

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Konvergenz einer Zahlenfolge

Hallo zusammen,

möchte gerne folgende Aufgabe lösen.

Untersuchen sie unten stehende Zahlenfolge auf Konvergenz!
Bestimmen Sie den Grenzwert!

$\begin{eqnarray*} a_n= ( 1 + \frac{1}{3n})^n \end{eqnarray*}$

als erstes habe ich die Zahlenfolge auf Beschränktheit untersucht, dazu habe ich n=1,2,3,4,5... gesetzt.
Für n=1 habe ich 1,33 erhalten. Dies ist meine untere Schranke also mein infimum.
Die Zahlenfolge ist streng monoton steigend, was man anhand einer Skizze bzw. durch das einsetzen erkenn kann.
Wenn eine Zahlenfolge streng monoton steigend und nach oben beschränkt ist wird die obere Schranke zum Grenzwert, also sup = lim.
Nun tue ich mir aber schwer die obere Schranke genau zu bestimmen.
setze ich bspw. n=5000, erhalte ich den Wert 1,3955969...
Laut Buch konvergiert meine Zahlenfolge gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{e} \end{eqnarray*}$ .
Wie komm ich nun genau auf diesen Wert? Kann ja nicht bis zum St. Nimmerleinstag einsetzen Hammer

Hammer

Grüsse, tt

26.03.2008, 11:37

AD

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Es gibt ja verschiedene Zugänge zur Eulerschen Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , sehr verbreitet ist die Definition $\begin{eqnarray*} e:= \lim\limits_{m\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m \end{eqnarray*}$ .

Wenn du hier mal die Teilfolge der Indizes $\begin{eqnarray*} m=3n \end{eqnarray*}$ im Grenzprozess betrachtest, erhältst du was?

26.03.2008, 11:53

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge

Zitat:

Original von tim taler
Untersuchen sie unten stehende Zahlenfolge auf Konvergenz!
Bestimmen Sie den Grenzwert!

Fiel die Aufgabe vom Himmel oder wurden da noch andere Dinge, wie sie z. B. Arthur Dent angedeutet hat, besprochen?

Zitat:

Original von tim taler
Für n=1 habe ich 1,33 erhalten.

Bei mir nicht. Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac 4 3 \end{eqnarray*}$ raus. smile

smile

Zitat:

Original von tim taler
Dies ist meine untere Schranke also mein infimum.

Und woher weißt du das?

Zitat:

Original von tim taler
Die Zahlenfolge ist streng monoton steigend, was man anhand einer Skizze bzw. durch das einsetzen erkenn kann.

Kein guter Beweis. Ab n=100 könnte die Folge auch wieder fallen. geschockt

geschockt

26.03.2008, 15:42

tim taler

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
@ Arthur Dent:

anhand deiner Def. wird das nun deutlich!

wenn ich nur m=3n betrachte, sehe ich einen monoton steigende Zahlenfolge die nach unten beschränkt durch 3 und nach oben unbeschränkt ist.

@ klarsoweit:

a) die Aufgabe entspricht dem Wortlaut des Buches. Es wurde kein Hinweis gegeben bspw. die e-Fkt. zu benutzen.

b) 4/3 ist korrekt! sorry

c) woher weiß ich das? ich dachte da ich diesen Wert für 1 erhalten habe und dies das kleinste Element der nat. Zahlen ist.(0 ausgeschlossen)

d) bitte Dich mir einen besseren Beweis zu zeigen, da in meinem Buch nur diese Vorgehensweise angesprochen wird.

Gruss, tt

26.03.2008, 15:52

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge

Zitat:

Original von tim taler
wenn ich nur m=3n betrachte, sehe ich einen monoton steigende Zahlenfolge die nach unten beschränkt durch 3 und nach oben unbeschränkt ist.

Es wundert mich immer wieder, wie du da eine monoton steigende Zahlenfolge erkennst. Es stimmt zwar, der Beweis muß aber gesondert geführt werden.

Zitat:

Original von tim taler
a) die Aufgabe entspricht dem Wortlaut des Buches. Es wurde kein Hinweis gegeben bspw. die e-Fkt. zu benutzen.

Also e-Funktion bzw. die Zahl e waren bei euch bislang kein Thema?

Zitat:

Original von tim taler
c) woher weiß ich das? ich dachte da ich diesen Wert für 1 erhalten habe und dies das kleinste Element der nat. Zahlen ist.(0 ausgeschlossen)

Ich verstehe die Logik nicht. Du setzt in deine Folge n=1 ein und das Resultat ist dann automatisch der kleinste Wert der Folge? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von tim taler
d) bitte Dich mir einen besseren Beweis zu zeigen, da in meinem Buch nur diese Vorgehensweise angesprochen wird.

Welche Vorgehensweise wurde denn angesprochen? Wie man das angehen kann, hat Arthur Dent gesagt: ersetze in deiner Folge m=3n und nutze die Definition von e.

26.03.2008, 16:05

tim taler

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
a) ok. und wie kann ich den Beweis gesondert führen?

b) die eFunktion wurde in diesem Kapitel nicht gesondert angesprochen. Ich habe den Zusammenhang zwischen e-Fk.t. und Grenzwert also zum ersten Mal bei Arthur gesehen...

c) auch auf die Gefahr hin, das du mir ne bratpfanne über den Kopf haust, ja bisher habe ich das mit n=1 so gemacht...

d) im Buch wurde es wie folgt erklärt:
erst soll man auf Beschränktheit und Monotonie prüfen!
wenn eine Zahlenfolge beschränkt ist, sprich nach oben und unten, und zugleich monoton steigend/fallend dann findet folgendes Anwendung:

mon. steigend + beschränkt -> lim (a) = sup (a)
mon. fallend + beschränkt -> lim (a) = inf (a)

Hier reicht diese allg. Vorgehensweis nun nicht, da ich die Def. von e dazu brauche wie Du sagst. Aber klären wir erst die anderen Punkt und gehen später wieder darauf ein.

Gruss, tt

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26.03.2008, 17:28

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge

Zitat:

Original von tim taler
a) ok. und wie kann ich den Beweis gesondert führen?

Für $\begin{eqnarray*} a_n = (1 + \frac 1 n)^n \end{eqnarray*}$ zeigt man, daß $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von tim taler
b) die eFunktion wurde in diesem Kapitel nicht gesondert angesprochen. Ich habe den Zusammenhang zwischen e-Fk.t. und Grenzwert also zum ersten Mal bei Arthur gesehen...

Dann finde ich es ausgesprochen blöd, solch eine Aufgabe zu stellen.

Zitat:

Original von tim taler
c) auch auf die Gefahr hin, das du mir ne bratpfanne über den Kopf haust, ja bisher habe ich das mit n=1 so gemacht...

Also für n=1 bekommt man im Allgemeinen nicht das kleinste Element einer Folge. Siehe a_n = 1/n. Das kann man nur dann so machen, wenn man weiß, daß die Folge monoton steigt, womit wir wieder bei Punkt a sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von tim taler
d) im Buch wurde es wie folgt erklärt:
erst soll man auf Beschränktheit und Monotonie prüfen!
wenn eine Zahlenfolge beschränkt ist, sprich nach oben und unten, und zugleich monoton steigend/fallend dann findet folgendes Anwendung:

mon. steigend + beschränkt -> lim (a) = sup (a)
mon. fallend + beschränkt -> lim (a) = inf (a)

Hier reicht diese allg. Vorgehensweis nun nicht, da ich die Def. von e dazu brauche wie Du sagst.

Wenn du nur die Konvergenz zeigen möchtest, dann würde diese Vorgehensweise genügen. Wenn du auch den Grenzwert angeben mußt (oder willst), dann brauchst du auch die Definition von e.

28.03.2008, 14:41

tim taler

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
a) $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1\Rightarrow a_{n+1}\geq a_n \end{eqnarray*}$
ist diese Bedingung erfüllt ist die Folge monoton steigend. Richtig?

b) da ich durch a) nun weiß das die Folge monoton steigend ist, kann ich folglich sagen das n=1 = inf = lim ist. Richtig?

c) nun zur eigentlichen Aufgabe.
Arthur sagte:Wenn du hier mal die Teilfolge der Indizes im Grenzprozess m=3n betrachtest, erhältst du was?

also ich erhalte nach Anwendung der obigen Regeln eine monoton steigende Zahlen folge nach oben unbeschränkt nach unten durch 3 beschränkt, damit divergent.
Wie muss ich nun fortfahren?

Gruss tt

28.03.2008, 14:53

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge

Zitat:

Original von tim taler
a) $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1\Rightarrow a_{n+1}\geq a_n \end{eqnarray*}$
ist diese Bedingung erfüllt ist die Folge monoton steigend. Richtig?

Ja.

Zitat:

Original von tim taler
b) da ich durch a) nun weiß das die Folge monoton steigend ist, kann ich folglich sagen das n=1 = inf = lim ist. Richtig?

Nein. Du kannst sagen, daß der Folgenwert a_1 das Infimum ist.

Was Arthur meinte, ist folgendes:

Wenn man in $\begin{eqnarray*} b_m := \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m \end{eqnarray*}$ m=3n einsetzt, dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m = \left( 1 + \frac{1}{3n} \right)^{3n} = \left( (1 + \frac{1}{3n})^n \right)^3 \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, liefert die Folge b_m gerade die Kuben deiner Folge a_n. Da die Folge b_m konvergiert (und zwar gegen die Zahl e), konvergiert auch a_n gegen einen Grenzwert, sagen wir a. Es ist also $\begin{eqnarray*} e = a^3 \end{eqnarray*}$ .

28.03.2008, 15:31

tim taler

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
das kann ich soweit nachvollziehen.
Die Folge b_m konvergiert gegen e. Das wissen wir aus der von Arthur genannten Definition. Wie könnte man das nun aber genau beweisen? Ginge das auch ohne das man von der Definition weiß? Oder hätte man da das gleiche Problem wie ich in Beitrag 1 beschrieben habe, eben das man ja nicht bis unendlich einsetzen kann?

Gruss, tt

28.03.2008, 16:13

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge

Zitat:

Original von tim taler
Die Folge b_m konvergiert gegen e. Das wissen wir aus der von Arthur genannten Definition. Wie könnte man das nun aber genau beweisen? Ginge das auch ohne das man von der Definition weiß?

Natürlich geht das, auch ohne daß man von der Definition weiß. Die Definition sagt ja auch nicht aus, daß die Folge konvergiert, sondern man beweist erstmal daß die Folge konvergiert und legt dann die Zahl e als den Grenzwert dieser Folge fest.

Wie schon angedeutet zeigt man für die Konvergenz, daß die Folge monoton steigt und nach oben beschränkt ist. Für den Beweis der Beschränktheit könnte man so etwas machen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n~{n\choose k} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^n~\frac{(n-k+1) \cdot ... \cdot n}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \sum_{k=0}^n~\frac{n^k}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} = 2 + \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k!} \leq 2 + \sum_{k=2}^n~\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2^{k-2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 + \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{2^k} = 2 + \frac{1 - 0,5^n}{1 - 0,5} - 1 = 1 + 2 \cdot (1 - 0,5^n) < 3 \end{eqnarray*}$

Was besseres fiel mir nicht ein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2008, 16:40

tmo

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Alternativ ohne den binomischen Lehrsatz (wegen Schulmathematik):

Wenn man es geschafft hat zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist, ist es nicht mehr schwer zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_n = \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist.

Wegen $\begin{eqnarray*} a_n < b_n < b_1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ also beschränkt.

29.03.2008, 13:19

tim taler

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@klarsoweit:
das fällt mir sehr schwer nachzuvollziehen.

@ tmo:
kannst du mir das bitte nochmal genau erklären?
a_n ist mon. steigend da a_n < a_n+1
b_n ist mon. fallend da b_n > b_n+1

warum aber ist a_n < b_n?

Gruss, tt

29.03.2008, 13:43

tmo

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das ist trivial:

$\begin{eqnarray*} b_n - a_n = \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} - \left(1+\frac{1}{n} \right)^n = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \cdot \left(1+\frac{1}{n} -1\right) = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{n} > 0 \end{eqnarray*}$

oder anders ausgedrückt: wenn man $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ (größer 1) multipliziert, erhält man $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , welches also größer ist.

29.03.2008, 15:52

tim taler

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ok, vielen Dank soweit!

Gruss, tt

31.03.2008, 08:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
@klarsoweit:
das fällt mir sehr schwer nachzuvollziehen.

Und was wäre das?

31.03.2008, 10:22

tim taler

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hallo klarsoweit,

also zB woher die Variable k kommt. Woher die Fakultäten kommen, usw
ist nun aber nicht weiter schlimm, denn ich kenn ja mittlerweile die Definition von e. Ich bin nun bei Funktionen angekommen und habe das Kapitel bis zum Mittag durchgelesen. Melde mich dann am Nachmittag mit ein paar Beispielen wieder, so kann ich ja noch bissl üben...
Danke Dir für Deine Hilfe!

Gruss, tt

31.03.2008, 10:32

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
Also erstmal das hier:

$\begin{eqnarray*} a_n = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n~{n\choose k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ist das die Anwendung des allgemeinen binomischen Satzes sowie die Aufdröselung des Binomialkoeffizienten in die Schreibweise mit Fakultäten. k ist dabei der Laufindex in den auftretenden Summen.

31.03.2008, 12:27

tim taler

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
gut das mit dem binomischen Satz und den Binomialkoeffizienten verstehe ich soweit, wozu aber benötigt man die Fakultäten?

31.03.2008, 12:32

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
Verstehe die Frage nicht so ganz. Diese Beziehung ist klar, oder?:

$\begin{eqnarray*} {n\choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann brauche ich die Fakultäten deswegen, weil ich damit mein Ziel erreiche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.03.2008, 12:42

tim taler

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RE: Konvergenz einer Zahlenfolge
ok, habs mir hier nochmal angeschaut und kanns nun nachvollziehen, danke!
Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

Gruss, tt

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