Ungleichung

26.03.2008, 11:35

Käpt'n Blaubär

Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}Ich finde einfach keinen Ansatz für den Beweis folgender Aussage:\\ \\Sei $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ eine Folge reeller Zahlen mit $a_n>0$ für alle $n\in \mathbb N$. Weiter sei $\sum a_n$ konvergent. Dann gilt:\begin{displaymath}\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}\leq e\sum_{n=1}^\infty a_n~.\end{displaymath}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

26.03.2008, 14:21

brain man

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RE: Ungleichung
Ich würds mit ner Abschätzung versuchen :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\sqrt[n]{a_{1}*a_{2}...*a_{n}} \leq e*\sum_{n=1}^{\infty}~a_{n} \end{eqnarray*}$

wegen :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\sqrt[n]{a_{1}*a_{2}...*a_{n}} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\sqrt[n]{a_{n}^n} = \sum_{n=1}^{\infty}~a_{n} \end{eqnarray*}$

gilt die Ugleicnhung.

26.03.2008, 14:25

Dual Space

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von brain man
wegen :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\sqrt[n]{a_{1}*a_{2}...*a_{n}} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\sqrt[n]{a_{n}^n} \end{eqnarray*}$

gilt die Ugleicnhung.

Wieso sollte diese Abschätzung gelten? Ich denke sie ist falsch, ein Gegenbeispiel lässt sich schnell finden.

26.03.2008, 15:51

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Ist das mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ "scharf"? Mir fällt bisher nur ein Beispiel ein, wo ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_1\cdot \ldots a_n} \nearrow 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

schaffe, also "nur" Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ verwirrt

Klar, Beispiele für "scharfe" Gültigkeit sind keine Beweise. Aber sie geben oft Hinweise, wie das Problem zu knacken sein könnte.

------------------

Ich weiß nicht, ob es was nützt, aber die Behauptung ist äquivalent dazu, dass man die Ungleichung für endliche Summen nachweisen kann, d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m \sqrt[n]{a_1\cdot \ldots a_n} \leq e\cdot \sum_{n=1}^m a_n \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten hab ich aber erstmal einen Knoten im Gehirn, was einen erfolgversprechenden Weg betrifft. Ich denk aber sicher nochmal drüber nach, denn es ist eine interessante Ungleichung. Hoffentlich stimmt sie wenigstens... Augenzwinkern

26.03.2008, 15:58

Käpt'n Blaubär

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ist das mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ "scharf"?

Jawoll,
es ist so, dass e die kleinste Konstante ist, die diese Ungleichung erfüllt.

26.03.2008, 16:00

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Hast du ein geeignetes Beispiel, wo man an die Grenze rankommt? Wie ich eben sagte, das Beispiel könnte aufschlussreich sein.

26.03.2008, 16:46

Käpt'n Blaubär

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Inzwischen sind wir weiter gekommen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\sum_{k=1}^n k~a_k=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}~\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k~a_k \end{eqnarray*}$

Nach diesem 'schmutzigen' Trick geht's dann mit der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel weiter.

$\begin{eqnarray*} \geq\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n k~a_k}=~\ldots \end{eqnarray*}$

26.03.2008, 17:00

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Clever.

Jetzt sind eigentlich alle Messen gesungen: Noch eine Stirlingformel-ähnliche Abschätzung für das $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel, und du bist fertig.

Genauer gesagt: $\begin{eqnarray*} n! > \left( \frac{n+1}{e} \right)^n \end{eqnarray*}$ , was sich leicht durch Vollständige Induktion beweisen lässt.

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