Fouriertransformierte

26.03.2008, 12:59

Stormbreaker

Fouriertransformierte

Hallo,

ich suche die Fouriertransformierte für das Signal $\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ . Ich erhalte folgendes Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^\infty e^{-\alpha t}\cdot e^{-j\omega t}dt \end{eqnarray*}$ . Leider wird nach Integration eine meiner e-Funktionen gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen, ohne dass eine andere gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht.

Update:
Ich habe die Funktion nun in einen geraden und ungeraden Anteil zerlegt:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-\alpha t} +e^{\alpha t}}{2} +\frac{e^{-\alpha t} - e^{-\alpha t}}{2} = cosh(\alpha t) + sinh(\alpha t) \end{eqnarray*}$ . Mein Integral lautet anschließend $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} (cosh(\alpha t) + sinh(\alpha t))\cdot e^{-j\omega t}dt \end{eqnarray*}$ .

Leider hilft mir das keinen Schritt weiter..

26.03.2008, 14:16

Dual Space

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RE: Fouriertransformierte

Zitat:

Original von Stormbreaker
ich suche die Fouriertransformierte für das Signal $\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ .

Diese Funktion ist nicht Fourier-transformierbar.

26.03.2008, 14:30

Stormbreaker

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RE: Fouriertransformierte

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von Stormbreaker
ich suche die Fouriertransformierte für das Signal $\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ .

Diese Funktion ist nicht Fourier-transformierbar.

Hallo Dual Space,

vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ist die Funktion denn transformierbar, wenn die Grenzen auf $\begin{eqnarray*} [0;\infty) \end{eqnarray*}$ geändert werden, da $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ nur in diesem Bereich für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ definiert ist?

26.03.2008, 14:36

Dual Space

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RE: Fouriertransformierte
Die Fourier-Transformation ist nunmal nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

Ein möglicher Ausweg wäre die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_- \end{eqnarray*}$ abzuschneiden und dann ein komplexes Wegintegral zu betrachten. Wie genau man damit ans Ziel kommt ist mir aber auch nicht klar.

26.03.2008, 14:57

Stormbreaker

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RE: Fouriertransformierte

Zitat:

Original von Dual Space
Die Fourier-Transformation ist nunmal nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

Ein möglicher Ausweg wäre die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_- \end{eqnarray*}$ abzuschneiden und dann ein komplexes Wegintegral zu betrachten. Wie genau man damit ans Ziel kommt ist mir aber auch nicht klar.

Hallo Dual Space,

erneut vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich habe in der Zwischenzeit bei jemandem nachfragen können und musste feststellen, dass es sehr wohl eine solche Transformierte gibt: $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{{\alpha}^2 + {\omega}^2} -j\frac{\omega}{{\omega}^2 + {\alpha}^2} \end{eqnarray*}$ .

Das einzige Problem, welches ich besitze, ist jedoch: Wie komme ich darauf?

26.03.2008, 15:13

Dual Space

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RE: Fouriertransformierte

Zitat:

Original von Stormbreaker
Das einzige Problem, welches ich besitze, ist jedoch: Wie komme ich darauf?

Einen möglichen Weg habe ich bereits in meinem letzten Post erwähnt. Augenzwinkern

Edit: Du solltest vorsichtiger mit dem Terminus sein. Die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$ ist nicht Fourier-transformierbar. Die Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_{\{t\geq 0\}}e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$ evtl. schon.

26.03.2008, 15:35

Stormbreaker

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RE: Fouriertransformierte

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von Stormbreaker
Das einzige Problem, welches ich besitze, ist jedoch: Wie komme ich darauf?

Einen möglichen Weg habe ich bereits in meinem letzten Post erwähnt. Augenzwinkern

Hallo, genau diese Funktion meine ich!

27.03.2008, 14:29

Orakel

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RE: Fouriertransformierte
du musst doch nur stur integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}\ dt=\int_0^\infty e^{-(\alpha +i\omega) t}\ dt \end{eqnarray*}$

Also gilt

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}\ dt=-\frac{1}{\alpha+i\omega}e^{-(\alpha +i\omega) t}\Big|_{t=0}^{t=+\infty} \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} |e^{-(\alpha +i\omega) t}|=e^{-\alpha t}\to 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} t\to+\infty \end{eqnarray*}$ gilt also

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}\ dt=\frac{1}{\alpha+i\omega}=\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2}-i\frac{\omega}{\alpha^2+\omega^2} \end{eqnarray*}$

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