Erklärung Logarithmus mit Substitution

Neue Frage »

26.03.2008, 20:08	112Firefighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung Logarithmus mit Substitution Hallo an Mathematiker, ich muss euch leider wieder mal belästigen, da ich mit einigen Aufgaben nicht ganz so zu recht komme bzw. die Lösungen auch nicht ganz nachvollziehen kann. Hier mal die Aufgaben und in kursiv meine Frage dazu: 1.) 4* (lgx)²-4lgx-3 = 0 Substituieren: z = lgx 4z² - 4z - 3 =0 z1= 3/2 z2 = - 1/2 Wie komme ich jetzt auf folgendes?! z1= 3/2 = lgx1 x1 = 31,62277 z2= - 1/2 = lg x2 x2 = 0,316228 2.) 3²^x -103^x +21 = 0 Substitution: z = 3hochx z²-10z+21 = 0 z1= 7 z2= 3 z1= 7 = x1 = lg7/lg3 Wie kommt man auf lg7/lg3?* z2 = 3 = x2 = lg3/lg3 Wie kommt man auf lg3/lg3? 3.) 7hoch x = 497 hoch 4x-1 Meine Rechnung: xlg7 = 4x-1lg343 3x = lg343/lg7+1 3x = 2,30288 x = 0,7676 Lösung: 7hochx = 7²7 hoch 4x-1 x = 2 +4x-1 3x = -1 x = -1/3 ? 4.) 11 hoch x-2 = 1,7 * 1,2 hoch x+1 Meine Rechnung: x-2lg11 = lg1,7 * x+1 * lg1,2 x-2/x+1 = lg 1,7 + lg 1,2 - lg11 -2 = - 1,684945 0 = 0,31505 Lösung: (x-2)lg11 = lg 1,7 + (x+1) lg 1,2 x * (lg 11 - lg 1,2) = lg 1,2 + 2 lg11 x = lg 1,7 + lg 1,2 + 2lg11 / lg11 - lg1,2 5.) 1 +lg3x = lg 12 lg 3x = lg 12-1 lg3 x= 0,079181246 (bis hierhin kann ich folgen aber der Rest???) 3x = 1,199999 x = 0,399999 (ich weiß auch, dass die Logarithmen die Umkehrfunktion der Exponentialfkt. sind, allerdings happert es bei mir bei manchen Aufgaben am Verständnis der Umstellung) 6.) lgWurzel aus 4x+3 = 3 Meine Rechnung: 1/2 lg 4x+3 = 3 lg 4x +3 = 6 Lösung: Wurzel aus 4x+3 = 1000 Wie komme ich darauf?* 4x+3 = 1000 000 x = 249999,25 7.) (lgx)² + 7/4 * lgx - 1/2 = 0 Substituieren: z = lg x z²+7/4 z - 1/2 = 0 z1= 0,25 z2 = -2 Wie komme ich beiden auf lg x1 oder lg x2? 8.) x hoch lgx = 10 hoch 9 Ich hätte hier logarithmiert, allerdings hat mich das auch nicht weiter auf eine Lösung gebracht. Lösung: x = 10 hoch lg x 10 hoch (lgx)² = 10 hoch 9 lgx² = 9 lg x1 = 3 0 x1 = 1000 lgx2 = 3 x2 = 0,001 Ich weiß es nicht gerade wenig, aber bitte helft mir es zu verstehen. Ich zweifle manchmal schon an mir selber und ich selbst habe bisher keine ausführlichen Erklärungen zum Selbststudium finden können. Für eure Hilfe bedanke ich mich im voraus. LG Firefighter
26.03.2008, 20:26	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 1 und 2 sind nur Rücksubstitutionen! Bei den restlichen Aufgaben bekomme ich Augenkrämpfe! Vorschlag: Nochmal mit dem Formeleditor hinschreiben und ich helfe dir weiter, oder du mußt warten bis jemand anderes eingreift, weil ich echt keine Lust habe das zu entziffern!
26.03.2008, 20:57	112Firefighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum einen wie funktioniert das mit Rücksubstitution bei dem Logarithmus? Ich weiß, dass das ganze sehr unübersichtlich aussieht und ich habe ehrlich gesagt auch eine ganze weile gebraucht um das einzuklippern. Weiterhin habe ich deinen Rat (den du mir bei meiner letzten Anfrage gegeben hast hinsichtlich Fomeleditor) versucht zu berücksichtigen. Allerdings hat der das nicht so gemacht wie ich wollte mit den Wurzelzeichen. Und die Zeichen \sqrt{x} oder x^{n} oder \frac{a}{b} helfen mir ja nicht weiter, wenn es sich um ganze Terme handelt und nicht nur um eine oder zwei Variable(n). Tut mir leid und ich weiß ehrlich auch nicht, ob sich jemand anderes die Mühe macht meine Aufgaben zu entziffern. Tut mit leid.
26.03.2008, 21:05	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
zur rücksubstitution: wenn da steht: $\begin{eqnarray} z= \frac {3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=log x \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} log x=\frac {3}{2} \end{eqnarray}$ du weißt nicht wie der log weggeht? der log ist der dekadische logarithmus zur basis 10! folglich musst du einfach rechnnen: $\begin{eqnarray} 10^{log x}=10^{\frac {3}{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 10^{log x} \end{eqnarray}$ "heben sich auf"...
27.03.2008, 11:25	112Firefighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, jetzt hat es glaube ich zu diesem Punkt "klick" gemacht. Danke nochmal. Was meine anderen Fragen betrifft, falls sich doch jemand aus meinen Zahlenwirrwar rausfindet, freud mich das.
27.03.2008, 13:52	TheWitch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erklärung Logarithmus mit Substitution Ist Aufgabe 2 damit jetzt auch erledigt? Und dann sollte auch Aufgabe 7 kein Problem mehr sein. Rücksubstituieren ergibt $\begin{eqnarray} 0,25 = lg~x_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} -~2 = lg~x_2 \end{eqnarray}$ . Beide Seiten exponieren zur Basis 10 gibt $\begin{eqnarray} x_1 = 10^{0,25} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_2 = 10^{- 2} \end{eqnarray}$ . Zu 3: Wenn x nur im Exponenten auftritt und alle Basen bzw. Vorfaktoren etc. Potenzen zur gleichen Basis sind, ist es i. A. angeraten, zunächst mal Potenzgesetze anzuwenden und alles zusammenzufassen: $\begin{eqnarray} 7^{x} = 49 \cdot 7^{4x - 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7^{x} = 7^{2} \cdot 7^{4x - 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7^{x} = 7^{2 + (4x - 1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7^{x} = 7^{4x + 1} \end{eqnarray}$ Potenzen mit gleicher (positiver) Basis sind genau dann gleich, wenn auch ihre Exponenten gleich sind. Also folgt durch Exponentenvergleich: x = 4x + 1 Ganz normal aufgelöst nach x ergibt das die von dir gepostete Lösung. Zu 4: Bei deinem Ansatz fehlen sämtlich Klammern. Bei solchen Aufgaben ist es sinnvoll, zunächst mal alle Klammern aufzulösen, alle Glieder mit x auf eine, alle ohne x auf die andere Seite zu bringen und dann x auszuklammern. Wenn du das machst, erhältst du (fast) die zweite Zeile deiner Lösung - die enthält allerdings einen Tippfehler, da fehlt "lg 1,7". Die Zeile muss also lauten: x * (lg 11 - lg 1,2) = lg 1,7 + lg 1,2 + 2 lg11 In der dritten Zeile fehlen dann wieder Klammern: $\begin{eqnarray} x = \frac{lg 1,7 + lg 1,2 + 2\cdot lg11}{lg11 - lg1,2} \end{eqnarray}$ Zu 5: Die ist so einigermaßen umständlich (woher hast du die Lösung?). Besser wäre es, zunächst die Logarithmen auf eine Seite zu bringen und mithilfe der Logarithmengesetze zusammenzufassen. Das ergibt: $\begin{eqnarray} &&1 = lg~\frac{12}{3x}~~~~~~\| \end{eqnarray}$ beide Seiten exponieren zur Basis 10 ergibt: $\begin{eqnarray} \\&&10^{1} = 10^{lg\frac{12}{3x}};~also:~10 = \frac{12}{3x} \end{eqnarray}$ Diese Gleichung ganz normal auflösen (mit Nenner multiplizieren) führt zu $\begin{eqnarray} x = \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = 0,4 \end{eqnarray}$ (Die Zahlen bei dir sind vermutlich vom TR erzeugte periodische Dezimalzahlen mit der Periode 9.) Zu 6: Deine erste Umformungszeile (lg 4x +3 = 6) ist auch völlig ok. Jetzt beide Seiten exponieren zur Basis 10 - das ergibt: 4x + 3 = 10^6 Auflösen führt auf x = (10^6 - 3)/4 Zu 8: Da wird ein "Trick" verwendet - du kannst x immer schreiben als $\begin{eqnarray} x = a^{log_{a}x} \end{eqnarray}$ , hier also speziell als $\begin{eqnarray} x = 10^{lg~x} \end{eqnarray}$ , da es sich um Zehnerlogarithmen handelt. Daraus folgt dann $\begin{eqnarray} (10^{lg~x})^{lg~x}= 10^{9} \end{eqnarray}$ und durch Anwenden der Potenzgesetze $\begin{eqnarray} 10^{(lg~x)^2} = 10^{9} \end{eqnarray}$ . Exponentenvergleich, Wurzelziehen (2 Lösungen: 3 und - 3!) und anschließendes Exponieren zur Basis 10 liefert: $\begin{eqnarray} x_{1} = 10^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} = 10^{-3} \end{eqnarray*}$ .
Anzeige

27.03.2008, 14:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erklärung Logarithmus mit Substitution Eigentlich sind hier Komplettlösungen unerwünscht und werden normalerweise umgehend gelöscht. Siehe auch Prinzip "Mathe online verstehen!" Da du dir sehr viel Mühe gemacht hast, sehe ich mal davon ab.
29.03.2008, 11:53	112Firefighter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erklärung Logarithmus mit Substitution Vielen Dank für eure Hilfe, ich habe es jetzt auch soweit verstanden. Vielen Dank auch dafür das, der Beitrag nicht gleich gelöscht wurde, ich werde beim nächsten mal darauf achten. LG und ein angenehmes Wochenende Firefighter
29.03.2008, 12:10	112Firefighter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erklärung Logarithmus mit Substitution P.S. Was die Lösung zur Aufgabe 5 betrifft, dass stand so in dem Lösungsteil von dem Matheheft und ich konnte die Rechnung nicht ganz nachvollziehen. Deine Lösung ist viel verständlicher.

Neue Frage »

Antworten »

Erklärung Logarithmus mit Substitution

Verwandte Themen