Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

26.03.2008, 20:35

dakoso

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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-3x^2+4 \end{eqnarray*}$
a) Bestimme die Nullstellen, den y-Achsenschnittpunkt und die Extrema.
b) Skizziere den Graphen
c) Berechne den Inhalt der Fläche, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit der x-Achse einschließt
d) Warum hat der Graph einen Wendepunkt? Erläutere!
e) Erläutere das Verfahren zur Bestimmung der Normalen zur Wendetangente!

Ich weiß wie eine Kurvendiskussion geht, doch ich mache zwischendurch ein paar Fehler und würde gerne zu der Aufgabe eine komplette Musterlösung am Ende haben.

zu a) um die Nullstellen zu erhalten muss man die Polinomdividion anwenden.
Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1,7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-0,7 \end{eqnarray*}$
Sy: $\begin{eqnarray*} f(0)=4 \end{eqnarray*}$
Extrema:
notw.Bedingung: x=2
hinr.Bed.: $\begin{eqnarray*} f''(0)=-6 < 0 => Max \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(2)=+6 > 0 => Min \end{eqnarray*}$
fehlt bei a) noch irgend etwas?

zu b) wie skizziert man den Graphen?

26.03.2008, 20:37

Bjoern1982

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Zitat:

fehlt bei a) noch irgend etwas?

Ja, die konkreten Extrempunkte.

Zitat:

zu b) wie skizziert man den Graphen?

Indem du die Punkte aus a) einzeichnest und schlussfolgerst wie der Graph verlaufen muss.

Edit:

2 deiner Nullstellen sind falsch

26.03.2008, 20:46

Michael1988

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zu a)
Die Nullstellen x2 und x3 stimmen nicht.
Welchen Term erhältst du denn nach der Polynomdivision durch (x-2)?

26.03.2008, 20:59

dakoso

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Zitat:

Welchen Term erhältst du denn nach der Polynomdivision durch (x-2)?

$\begin{eqnarray*} x^2-x-2 \end{eqnarray*}$

Ich habe noch einmal nachgerechnet. Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$

Ich hatte wohl einen Vorzeichenfehler bei der pq-Formel.
Wie ich das einzeichnen soll weiß ich leider nicht verwirrt

verwirrt

26.03.2008, 21:03

Bjoern1982

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Naja, eben Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Mit der Klassifizierung der Extrempunkte (Hoch, Tiefpunkt) kannst du dir überlegen wo der Graph steigen oder fallen muss.

28.03.2008, 18:08

dakoso

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zu b) skizze:

http://www1.pic27.com/out.php/i22188_t7fu.jpg

Ist die Skizze richtig? Wenn nicht bitte die richtige Skizze posten und erklären.

zu c) $\begin{eqnarray*} A = \int_{0}^{2}~f(x)~dx = F(2) - F(0) = 4 FE \end{eqnarray*}$

wie geht die d) und e) ?

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28.03.2008, 20:06

gugelhupf

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Nee ist falsch.

Wenn du zwei mal die gleiche Nullstelle raus hast, dann ist das ein Berührpunkt.. dort schneidet die Funktion nicht die x-Achse sondern berührt diese nur.
Die Funktion schneidet die y-Achse auch nicht bei -4 ..

Was auf deiner Skizze Max oder Min sein soll, verstehe ich nicht smile

smile

28.03.2008, 21:08

dakoso

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korrigierte Skizze:

http://www1.pic27.com/out.php/i22196_fu6fu.jpg

Ist die Skizze jetzt richtig? Wenn nicht bitte die richtige Skizze posten.
Bei dem y-Achsenabschnitt hatte ich mich wohl vertan. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Max und Min hatte ich von den Extrempunkten.
$\begin{eqnarray*} f''(0)=-6 < 0 \end{eqnarray*}$ => Max bei 0
$\begin{eqnarray*} f''(2)=+6 > 0 \end{eqnarray*}$ => Min bei 2

ist c) richtig?

Kann mir jemand bitte erklären was man bei d) und e) antworten muss?

28.03.2008, 21:13

gugelhupf

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nee falsch,

wenn du wissen möchtest, ob die Funktion links vom negativen kommt oder ins negative geht, musst du einfach EINEN Wert .. wie x=-10 in deine Funktionsgleichung einsetzen. Wenn du es dir nicht von den Extrempunkten und deinen Ergebnissen ableiten kannst, denn:

-1 ist eine normale Nullstelle, du hast ja nur einmal -1 rausbekommen.. also schneidet die Funktion die x-Achse, du hast bei -1 einen Berührpunkt eingezeichnet.

bei -2 wäre der Berührpunkt..

Wenn du das änderst, hast du die Skizze.

edit: bei c hast du das falsche Integral gewählt.. du musst von Nullstelle zu Nullstelle bei einem Flächeninhalt mit der x-Achse integrieren, du hast keine 0 als Nullstelle.

19.04.2008, 00:24

dakoso

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ok die skizze hab ich jetzt richtig.

c) $\begin{eqnarray*} A = \int_{-1}^{2}~f(x)~dx = F(2) - F(-1) = 4 - 2 \frac{3}{4} = 1 \frac{1}{4} FE \end{eqnarray*}$

d) Warum hat der Graph einen Wendepunkt? Erläutere

e) Erläutere das Verfahren zur Bestimmung der Normalen zur Wendetangente!

bitte helft mir, wie d) und e) geht weiß leider ich immer noch nicht!

19.04.2008, 00:39

Bjoern1982

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zu d)

Du kannst das mit Hilfe der hinreichenden Bedingung für Wendepunkte zeigen oder aber auch mit der Existenz der schon bestimmten Extrempunkte argumentieren.

zu e)

Was sind denn deine Ideen bzw was verstehst du unter einer Wendetangente oder einer Normalen ?

Gruß Björn

19.04.2008, 19:37

dakoso

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zu d) Der Graph einen Wendepunk,
Argumentation 1: weil ich bei der hinreichenden Bedingung für Wendepunkte x=1 als Ergebnis erhalte.
Argumentation 2: weil der Graph sich bei den Extrempunkten wendet.

zu e) Eine Wendetangente ist doch bei einer Wendestelle.
Man muss den Wendepunkt bestimmen. y=mx+b
Wie mach ich das und was muss ich da einsetzen?

19.04.2008, 21:13

Bjoern1982

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Zitat:

Argumentation 2: weil der Graph sich bei den Extrempunkten wendet.

Du meinst womöglich das Richtige - genauer ist jedoch "weil der Graph sich ZWISCHEN den Extrempunkten wendet"

Zitat:

Eine Wendetangente ist doch bei einer Wendestelle.

Exakt, und zwar eine Tangente, die durch diesen Wendepunkt verläuft.
Eine Normale verläuft übrigens immer senkrecht zu einer Tangente.
Demnach müsstest du erstmal die Steigung m der Wendetangenten durch f '(Wendestelle) berechnen und da wie gesagt eine Normale genau senkrecht zu einer Tangente steht brauchst du noch den Zusatz, dass wenn diese beiden Geraden senkrecht zueinander stehen das Produkt ihrer Steigung -1 ergeben muss, wodurch du die Steigung der Normalen erhälst. Durch Einsetzen des Wendepunktes erhälst du auch noch den Rest der Normalengleichung.

Gruß Björn

20.04.2008, 19:07

dakoso

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1. Wendepunkt bestimmen $\begin{eqnarray*} W(x_w/y_w) \end{eqnarray*}$ => W(1/2)

2. Steigung ausrechnen $\begin{eqnarray*} y = m * x + b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = f'(x_w) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = f'(1)= -3 \end{eqnarray*}$

Kannst du mir das hier bitte erklären?
$\begin{eqnarray*} y_w = f'(x_w) * x_w + b => b \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} m ~\bot = - \frac{1}{m} = \frac{-1}{f'(x_w)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_w = - \frac{1}{f'(x_w)} * x_w + b \end{eqnarray*}$

20.04.2008, 19:15

Bjoern1982

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Woher hast du das alles ?

Das ist im Prinzip das, was ich im letzten Post verbal erklärt habe in Formeln verpackt.

Gruß Björn

08.05.2008, 21:19

dakoso

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Zitat:

Original von dakoso
$\begin{eqnarray*} y_w = f'(x_w) * x_w + b => b \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} m ~\bot = - \frac{1}{m} = \frac{-1}{f'(x_w)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_w = - \frac{1}{f'(x_w)} * x_w + b \end{eqnarray*}$

Das hab ich von einem Lehrer, der mir das allerdings nicht genau erklärt hat.

Aber ich hab das noch nicht so ganz verstanden, deshalb brauche ich dazu noch dringend Erläuterungen.

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