Abstand zur Ebene

26.03.2008, 22:41

Irrstern

Abstand zur Ebene

Hi Ho,

sitze vor dieser Aufgaben:
Finden Sie bzgl. des Standard-Skalarproduktes im IR³ eine ortonormale Basis für die Ebene E={(x,y,z) in IR³|x-2y+5z=0}

Berechnen Sie dann den Abstand zwischen E und dem Punkt P=(-1,3,-5) und bestimmen Sie den Punkt in E mit dem geringsten Abstand zu P.

Ich hänge noch beim ersten Teil fest.

Zuerst mal zu den Begriffen, die mir klar sind:
Das Skalarprodukt ist allg. def. als $\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,_3)*(b_1,b_2,b_3)=a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3 \end{eqnarray*}$ .
Warum das Stadard davor steht verstehe ich nicht ganz.

Eine orthonormale Basis im IR³ sind drei linear unabhängige Vektoren, für die gilt: $\begin{eqnarray*} <v_1,v_2>=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. das Skalarprodukt beider Vektroren ist 0, da sie rechtwinklig aufeinander stehen.

Das E eine Ebene ist, verstehe ich am wenigsten.
Dort wird eine Menge von Vektroren im IR³ definiert, die die Bedingung x-2y+5z=0 erfüllen. Wieso beschreibt diese Menge eine Ebene??
Wenn ich den ersten Teil der Aufgabenstellung richtig verstanden habe, soll ich zu dieser Ebene eine Vektor finden, der sektrecht zu ihr steht. Ist dies soweit richtig?

Ich hoffe Ihr könnt mir meine Ungereimtheiten erklären und mir auf die Sprünge helfen.

26.03.2008, 23:07

Bjoern1982

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Das, was du da beschreibst ist das Standardskalarprodukt.

Die Ebene besteht aus allen Punkten P(x|y|z) des IR³, die die Gleichung x-2y+5z=0 erfüllen. Das entspricht der Koordinatenform einer Ebene.

Das Aufstellen einer Parameterform durch die Wahl geeignter Punkte, die in der Ebene liegen ist schon die halbe Miete, um eine Orthonormalbasis zu finden, also 2 Basisvektoren, die sowohl senkrecht zueinander stehen als auch die Länge 1 haben (normieren). Das Normieren kann man im Nachhinein noch machen.
Ich würde hier einfach die beiden Spannvektoren der Ebene so wählen, dass ihr Skalarprodukt schonmal 0 ergibt - das ist hier sehr offensichtlich und man kann durch Ausprobieren schnell sehen welche Vektoren in Frage kommen könnten.
Tip: Da es sich um eine Ursprungsebene handelt wird vieles erleichtert.

Wenn es mal nicht so einfach geht wie hier empfehle ich das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmid...erungsverfahren

27.03.2008, 01:19

Irrstern

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Also ich habe jetzt durch ausprobieren zwei orthogonale Vektroren gefunden.
$\begin{eqnarray*} v_1=(2,1,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=(1,-2,2) \end{eqnarray*}$
Vektroren sind dann normiert, wenn der Betrag 1 ist. Somit sind meine Vektroren noch nicht normiert. Ich normiere sie, indem ich die einzelnen Komponente durch den Betrag teile.
Somit erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} v_1=(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} v_2=(\frac{1}{3},\frac{-2}{3},\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$
Nun habe ich meine gesuchten orthonormale Basis.

Um nun allgemein den Abstand zwischen E und dem Punkt P zu bestimmen, muss ich doch einfach den Betrag aus der Suptraktion von einem Punkt $\begin{eqnarray*} K=\alpha * v_1 + \beta * v_2 \end{eqnarray*}$ in der Ebene E und P bestimmen, also:
$\begin{eqnarray*} \mid (\alpha * v_1 + \beta * v_2)- (-1,3,-5) \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{2\alpha}{\sqrt{5}}+ \frac{ \beta}{3}+1)^2+(\frac{ \alpha}{ \sqrt{5}}-\frac{2 \beta}{3}-3)^2+(\frac{2 \beta}{3}+5)^2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es ist bis hier hin richtig.
Nun zum letzten Punkt.
Ich könnte die Berechnung als eine Funktion auffassen, die von Alpha und Beta abhängig ist, sie ableiten und das Minimum bestimmen. Doch weiß ich nicht wie das geht.
Ich muss daher eine Gerade finden, die orthogonal auf meiner Ebene steht und durch den Punkt P läuft.
Auch hab ich leider hierzu im Moment keine Idee..... Hammer

27.03.2008, 01:27

Bjoern1982

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Muss jetzt schnell ins Bett ^^ aber was ich noch auf die Schnelle sehe:

Die z-Koordinate des 2. Vektors muss -1 lauten, nicht 2, denn 1+4+10 ist ungleich null.

Sonsz scheinst du es aber prima verstanden zu haben.

Nun noch zur Abstandsbestimmung....sieht ein wenig wild aus was du da vorhast verwirrt

Ich würde empfehlen einfach eine Gerade aufzustellen, die durch den Punkt P verläuft und senkrecht zur Ebene (Richtungsvektor der Geraden entspricht Normalenvektor der Ebene). Diese Gerade schneidest du mit der Ebene, bestimmt den Schnittpunkt S und die Länge des Vektors PS ist dann der gesuchte Abstand.
Damit hast du dann 2 Fliegen mt einer Klappe geschlagen, denn der Schnittpunkt entspricht dann eben genau dem gesuchten Punkt in der Ebene, der zu P die geringset Entfernung hat (der geringste Abstand ist eigentlich Quatsch, denn der Abstand ist immer die kürzeste Entfernung).

So, ich hoffe das hilft dir weiter.

Gute Nacht smile

27.03.2008, 17:33

Irrstern

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jo da war noch ein fehler, danke bjoern.

nun hab ich nochmal ne blöde frage, mit welchen verfahren kann ich denn ein linear unabhängigen vektor zu meinen zwei finden, außer durch raten??
ich weiß das $\begin{eqnarray*} \alpha * v_1+ \beta * v_2 + \gamma * v_3=0 \end{eqnarray*}$ nur die richtige Lösung haben darf, dass alpha = beta = gamma = 0 ist. aber das hilft mir ja nicht weiter wenn ich ein dritten linear unabhängigen vektor suche

27.03.2008, 18:03

Bjoern1982

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Erkläre mal genau was du meinst ?
Welche 2 Vektoren hast du schon ? Mehr als 2 linear unabhängige Spannvektoren der Ebene braucht man eh nicht.

Zu EINEM Vektor findet man einen dazu linear unabhängigen indem man sich einen solchen ausdenkt, der KEIN Vielfaches des gegebenen Vektors ist.

27.03.2008, 19:41

Irrstern

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Wollte es nur so wissen, hatte mich gefragt, ob es eine systematisches Verfahren gibt um linear unabhänigege Vektoren zu bestimmen, wenn man zwei unab. Vektoren im IR³ hat und einen Dritten sucht.

So nun nochmal zurück zur Aufgabe:

Die allgemeine Gradengleichung für Vektoren ist ja $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{b}+\lambda \vec{c} ; a,b,c \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

In meinem Fall soll die Gerade durch den Punkt P gehen, also ist b=P

weiterhin will ich, dass die Gerade senkrecht durch meine Ebene läuft.

Somit kann muss das Skalarprodukt aus v_1 bzw v_2 mit c Null ergeben.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{5}}x+\frac{1}{\sqrt{5}}y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow z=\frac{5}{3}x \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Grade hat somit diese Form:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{P}+\lambda \begin{pmatrix} x \\ -2x \\ \frac{5}{3}x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} x \\ -2x \\ \frac{5}{3}x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun weiß ich aber leider nicht mehr weiter....

27.03.2008, 19:58

Bjoern1982

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Zitat:

Wollte es nur so wissen, hatte mich gefragt, ob es eine systematisches Verfahren gibt um linear unabhänigege Vektoren zu bestimmen, wenn man zwei unab. Vektoren im IR³ hat und einen Dritten sucht.

Wenn dir das Kreuzprodukt etwas sagt, dann liefert dir dieses einen zu den beiden gegebenen, linear unabhängigen Vektoren einen Vektor, der dazu senkrecht steht und damit die 3 Vektoren definitiv NICHT in einer Ebene liegen und demnach linear unabhängig sein müssen.

Zum Richtungsvektor deiner Geraden:

Sagt dir denn der Normalenvektor einer Ebene gar nichts ?

Gruß Björn

27.03.2008, 22:42

Irrstern

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Nein das sagt mir nichts, lese mich seit Studienbeginn in die Vektorrechnung ein und ich studiere grad ein halbes Jahr.

Ich habs mir aber durchgelesen und verstehe es im Ansatz auch.
Nun zur Aufgabe:

Ich habe eine Ebene und suche eine Gerade, die rechtwinklig auf ihr steht und durch den Punkt P geht.

Dann kann ich doch einfach ein Vektor mit dem Kreuzprodukt und meiner Basis bestimmen. Er liegt dann senkrecht zur Ebene. Dann muss ich ein kolinearen Vektor berechnen der durch meinen Punkt P läuft.

$\begin{eqnarray*} \vec{v_1}\times \vec{v_2}=\vec{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3\sqrt{5}}\\\frac{2}{3\sqrt{5}}\\-\frac{5}{3\sqrt{5}}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich noch die Gerade bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \vec{g}=\vec{P}+\lambda* \vec{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{g}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-5\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}\frac{1}{3\sqrt{5}}\\\frac{2}{3\sqrt{5}}\\-\frac{5}{3\sqrt{5}}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich aber leider vier Unbekannte und nur drei Gleichungen. traurig

Wenns aber soweit richtig ist, könnte ich ja schon fast die Entfernung berechnen, bitt nochmal eine Info!!! verwirrt

28.03.2008, 00:17

Bjoern1982

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Um auf schönere Zahlen zu kommen darfst du noch den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ "rausziehen". Dieser verschwindet dann im Parameter lambda.

Bedenke dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{g}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

x=-1+lambda

y=3+2lambda

z=-5-5lambda

Dies setzt du nun in die Ebene ein und löst nach lambda auf.

28.03.2008, 13:43

Irrstern

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Ok, ich hab in die Ebenenbedingung eingesetzt und nach Lambda aufgelöst.

$\begin{eqnarray*} \vec{g}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-5\end{pmatrix}+\frac{24}{7}\sqrt{5}\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich ja den Abstand bestimmen mit $\begin{eqnarray*} \mid \vec{g} \mid=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

Was ich noch nicht ganz verstanden habe:

Bei meiner Geradengleichung ist Lambda sozusagen mein Anfangswert. Es ist irgendein Punkt, der rechtwinklig zu v_1 und v_2 steht, aber es gibt nur einen, der in der Ebene E liegt. Also musste ich deshalb die Bedingung für meine Ebene nutzen, um den Punkt zu finden, der in der Ebene liegt. Berechne ich nun den Betrag, so hab ich die Entfernung zwischen der Ebene E und dem Punkt P.

Danke dir nochmal für alles Björn

31.03.2008, 18:04

Bjoern1982

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Ich glaube du solltest dir mal zu dem ganzen Sachverhalt eine Skizze machen, denn aufgrund deines letzten Beitrags glaube ich nicht, dass du dir vorstellen kannst, was und vor allem warum das alles zu tun ist.

Dein Wert für lambda ist auf jeden Fall falsch.

Durch das Einsetzen des korrekten Wert für lambda in die Geradengleichung erhält man den Durchstoßpunkt S von Gerade und Ebene.

Die Länge des Vektors PS entspricht dem gesuchten Abstand.

Gruß Björn

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