Formulierung Definitionsbereich

27.03.2008, 02:54

keinSummenkürzer

Formulierung Definitionsbereich

Hallo zusammen, ich bin beim Lernen für die Abi-Klausur nächsten Monat bei einer Übungsaufgabe für Ableitungen und Definitionsbereichen auf folgendes Problem gestoßen.

Gefordert ist:
Geben sie den Definitionsbereich und die 1. Ableitung der Funktion f(x)=ln $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-1}{x+2} \end{eqnarray*}$ an.

Frage: Wie gebe ich nun den Definitionsbereich an? Wie ich die Lücken finde ist mir so halbwegs klar.

Nun zu meinem Lösungsansatz:
Da nicht durch 0 geteilt werden darf, ist die Funktion für x=(-2) nicht definiert.
Für den ln(a) gilt, dass a>0 ist.
Das würde in diesem Fall heißen, dass (x^2-1)/(x+2)>0, wenn
x^2+1>0 und x+2>0, oder
x^2+1<0 und x+2<0.

Für den Fall, dass beides>0 ist, wäre
-1>x^2>1 und x>-2
<=> x>1 und x<-1 und x>-2 --> nicht definiert ist demnach der Bereich (-unendlich.....-2) und (-1....1)

Für den Fall, dass beides<0 ist, wäre
-1<x^2<1 und x<-2
--> wenn x^2 zwischen -1 und 1 liegen soll, kann x nicht gleichzeitig einen Wert kleiner -2 annehmen, also kann das Kriterium nicht erfüllt werden.

Die Funktion ist also für Werte > 1 und zwischen -2 und -1 definiert. Wie formuliere ich das nun richtig?

|D=[-2..-1] und [1...unendlich] ? -2, -1 und 1 ständen hier im Annahmebereich, jedoch ist die Funktion an diesen Stellen nicht definiert. Außerdem wie würde der Bereich aufgeschrieben werden? [-2...-1] oder doch ehr [-2;-1] ?
Oder schreibt man einen großen Bereich auf und notiert die Lücken? also:
|D=x>(-2)\[-1...1]
Die ganz zu Begin erwähnte -2 die nicht zum Definitionsbereich gehört da nicht durch 0 geteilt werden darf muss ja nicht weiter erwähnt werden, da der Definitionsbereich die -2 eh ausschließt, würde sonst aber doch durch
|D=x>(-2)\[-1...1]{-2} gekennzeichnet werden oder muss ich vor der {-2} noch einen \ setzen?
Sind die Klammern immer richtig gewählt, also ();[];{}?

Die Ableitung sollte f´(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+4x+1}{(x^{2}-1 )\cdot(x+2)} \end{eqnarray*}$ sein.

Ich hoffe ich habe mich soweit verständlich ausgedrückt, wenn nicht fragt bitte nach.

Danke schonmal an alle die sich damit auseinandersetzen, wäre echt super wenn ihr mir sagen könntet ob die Definitionsbereiche richtig aufgestellt wurden und wie das nun regelkonform niedergeschrieben wird.

Gruß keinSummenkürzer

27.03.2008, 08:17

tigerbine

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RE: Formulierung Definitionsbereich
Willkommen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left(\frac{x^{2}-1}{x+2}\right) \end{eqnarray*}$

Nun sind hier 2 Dinge entscheidend. Teil 1. Wir betrachten den Bruch. Der ist definiert für

$\begin{eqnarray*} D_1=\mathbb R \setminus \{-2\} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir die ln-Funktion mit der Substitution:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(z),~z:=\frac{x^{2}-1}{x+2} \end{eqnarray*}$

Was muss da also gelten?

$\begin{eqnarray*} z > 0 \end{eqnarray*}$

Was ergibt sich damit für x? Das ist dann $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ . Hier ist es die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-1}{x+2}> 0 \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung. Die Definitionslücke bei x=-2 haben wir schon oben erwähnt.

$\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-1>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_2 =(-2,-1) \cup (1,\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-1<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_3 = \emptyset \end{eqnarray*}$

Die Schnittmenge ist dann die gesuchte Lösungsmenge.

$\begin{eqnarray*} D=D_1\cap D_2 \cap D_3 = (-2,-1) \cup (1,\infty) \end{eqnarray*}$

27.03.2008, 11:02

keinSummenkürzer

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RE: Formulierung Definitionsbereich
Danke für die schnelle Antwort.
Angegeben werden also in diesem Fall nur die definierten Bereiche, richtig? Aber wie ist das mit den Grenzbereichen? Nach deiner Schreibweise würden -2,-1 und 1 ja noch zum Definitionsbereich gehören, allerdings ist an diesen Stellen die Funktion schon nichtmehr definiert.
Wäre es also nicht besser eine ähnlich Schreibweise wie für den zu Beginn aufgestellen Bereich D1 zu wählen (|D1=|R\{-2})?
Also irgendwas in der Form |D=|R>(-2)\(-1,1) ? Dann hätte ich ja nur alle Zahlen die größer -2 sind, aber nicht die -2 selber im Definitionsbereich.
Ebenso würde dann doch der Berreich von -1 bis 1 ausgeschlossen werden, so dass -1,00000....0001 aber noch zum Definitionsbereich gehört aber halt nicht die 1 selber.
Ist es also möglich, dass irgendwie in der Art und Weise [|D=|R>(-2)\(-1,1)] so anzugeben?

27.03.2008, 11:33

klarsoweit

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RE: Formulierung Definitionsbereich

Zitat:

Original von keinSummenkürzer
Aber wie ist das mit den Grenzbereichen? Nach deiner Schreibweise würden -2,-1 und 1 ja noch zum Definitionsbereich gehören, allerdings ist an diesen Stellen die Funktion schon nichtmehr definiert.

Du solltest dir nochmal die Definition von Intervallen anschauen. (a, b) bedeutet ein offenes Intervall; die Grenzen zählen nicht dazu.

Es ist also $\begin{eqnarray*} (a, b) = \lbrace ~ x ~ | ~ a < x < b \rbrace \end{eqnarray*}$

27.03.2008, 14:06

tigerbine

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RE: Formulierung Definitionsbereich
Bitte hier mal reinschauen. Danke.

27.03.2008, 21:25

keinSummenkürzer

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RE: Formulierung Definitionsbereich
Danke an Tigerbine und klarsoweit.
Ich habs nun endlich verstanden Freude

Ich werde demnächst mehr darauf achten latex zu verwenden.
Bin jetzt fürs erste erstmal froh das alles soweit geklappt hat Big Laugh

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