Übergangsmatrizen - "Industriehallen"

27.03.2008, 11:00

co0kie

Übergangsmatrizen - "Industriehallen"

Also diese garstigen Übergangsmatrizen kann ich ja nich so gut riechen. Können muss ich die Biester trotzdem!

Hier ist mal eine Aufgabe, an der ich hänge: Industriehallen.

Zuerst einmal wundert mich die Anordnung der Tabellen bzw. Matrizen. Bei der ersten Matrix beispielsweise: In den Zeilen stehen die Rohstoffe und in den Spalten stehen die Zwischenprodukte. Ist es nicht schlauer, es genau umgekehrt zu machen? Ich habe gelernt, dass in den Spalten "von" und in den Zeilen "nach" steht. Wenn man also als Zeilen die Zwischenprodukte nimmt, kann man die Matrix quasi so lesen: "Bei einem Zwischenprodukt kommen so und so viele Rohstoffe an".

Die Aufgaben a) und b) kann ich ja noch lösen, aber bei c) wird es bei mir problematisch.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,55 & 0,5 \\ 0,1 & 0,2 & 0,2 \\ 0,1 & 0,15 & 0,2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 1712 \\ 424 \\ 384 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ steht in der Lösung, wobei der Vektor x die Zwischenprodukte beinhaltet. Durch Lösen eines LGS kommt man auf den Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja alles schön und gut und ich verstehe es auch. Was ich nicht verstehe ist, warum ich, wenn ich die Matrix transponiere und dann mit dem Vorratsvektor multipliziere, ich nicht die Zwischenprodukte bekomme!
Die transponierte Matrix lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,55 & 0,2 & 0,15 \\ 0,5 & 0,2 & 0,2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese jetzt mit dem Vorratsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziere, müsste ich doch die Zwischenprodukte bekommen, oder nicht? Denn in der Matrix geben die Spalten jetzt die Rohstoffe an und beim Vektor die Zeilen. Der entstehende Vektor müsste demnach doch die Zwischenprodukte angeben, oder nicht?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,55 & 0,2 & 0,15 \\ 0,5 & 0,2 & 0,2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix} = \vec{x} \end{eqnarray*}$ Das Problem ist aber, dass ich nicht auf den gleichen Vektor komme, den ich bei der ersten Gleichung bekomme!

Meine Frage also: WAS berechne ich überhaupt, wenn ich auf diese Weise den Vektor x berechne? Die Zwischenprodukte können es ja kaum sein, sonst müsste dieser Vektor gleich dem oben berechneten sein. Ist er aber nicht.

Und zu d): In der Lösung argumentiert man ohne Rechnung mit Matrizen. Man sagt nur, dass mit den Zwischenprodukten maximal so und so viele Hallen gebaut werden können. Doch wie würde man das mit Matrizen berechnen können? Ich habe versucht die Zwischenprodukt-Hallen-Matrix mit einem Vektor (x,y) zu multiplizieren (wobei der Vektor die jeweiligen Hallenanzahlen beinhaltet).
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 240 & 300 \\ 80 & 120 \\ 80 & 180 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das LGS ist aber unlösbar. Was mache ich falsch?

Puh, mein Beitrag ist jetzt relativ lang, aber ich hoffe ihr nehmt euch die Zeit, um mir zu helfen. Ich will diese blöden Matrizen endlich mal kapieren, das Abi steht vor der Tür unglücklich

27.03.2008, 22:21

Bjoern1982

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Zitat:

Das ist ja alles schön und gut und ich verstehe es auch. Was ich nicht verstehe ist, warum ich, wenn ich die Matrix transponiere und dann mit dem Vorratsvektor multipliziere, ich nicht die Zwischenprodukte bekomme!

Warum um alles in der Welt möchtest du hier eine Matrix transponieren verwirrt

28.03.2008, 13:59

co0kie

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Weil ich einen Vorratsvektor habe, in dem die Rohstoffe in den Zeilen stehen. Durch Transponieren der Matrix bekomme ich die Rohstoffe in die Spalten der Matrix. Wenn ich jetzt also die transponierte Matrix mit meinem Vorratsvektor multiplizieren würde, so dachte ich, bekäme ich die Zwischenprodukte!

Die Gleichung, die man in der Lösung aufstellt, funktioniert doch genauso mit der ursprünglichen Matrix: Vektor x ist der Zwischenprodukt-Vektor, wobei die Zwischenprodukte in den Zeilen stehen. Bei der Matrix stehen sie in den Spalten. Durch Multiplikation erhält man dann ja die Rohstoffe.

Und ich dachte, wenn ich die Matrix transponiere, kann ich das genau umgekehrt machen und kriege als Ergebnisvektor die Zwischenprodukte. Und ich kapier nicht, warum das nicht funktioniert bzw. wenn ich nicht die Zwischenprodukte berechne, was habe ich dann überhaupt berechnet?!

28.03.2008, 16:23

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Schönes Chaos, was du da anrichtest. Also mal Klartext: Ausgehend von

Zitat:

Original von co0kie
Die Aufgaben a) und b) kann ich ja noch lösen, aber bei c) wird es bei mir problematisch.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,55 & 0,5 \\ 0,1 & 0,2 & 0,2 \\ 0,1 & 0,15 & 0,2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 1712 \\ 424 \\ 384 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ steht in der Lösung, wobei der Vektor x die Zwischenprodukte beinhaltet. Durch Lösen eines LGS kommt man auf den Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,55 & 0,5 \\ 0,1 & 0,2 & 0,2 \\ 0,1 & 0,15 & 0,2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1712 \\ 424 \\ 384 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

klar, einfach nur einsetzen. Wenn man nun die Gleichun $\begin{eqnarray*} A\cdot x=b \end{eqnarray*}$ transponiert, ergibt das $\begin{eqnarray*} x^T \cdot A^T = b^T \end{eqnarray*}$ , d.h., die Faktoren ändern ihre Reihenfolge! Im vorliegenden Fall also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1360 \\ 800 \\ 640 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,55 & 0,2 & 0,15 \\ 0,5 & 0,2 & 0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1712 \\ 424 \\ 384 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ ,

bzw. die Zeilenvektoren direkt geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1360 & 800 & 640 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,55 & 0,2 & 0,15 \\ 0,5 & 0,2 & 0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1712 & 424 & 384 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Einfach so $\begin{eqnarray*} A^T\cdot x = b \end{eqnarray*}$ annehmen, wie du es gemacht hast, stimmt i.a. natürlich nicht.

28.03.2008, 21:31

co0kie

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Hallo Arthur Dent!

Danke für deine Hilfe. Ich bin Übergangsmatrizen zwar nach wie vor alles andere als zugeneigt, aber ich denke, ich verstehe sie jetzt doch etwas besser Augenzwinkern

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