Warum bloß im rechtwinkligen Dreieck?!

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scarfish Auf diesen Beitrag antworten »
Warum bloß im rechtwinkligen Dreieck?!
Hi, also ersteinmal geht es mir hier um die Formeln zur Flächeninhalts berechnung eines Dreiecks. Und zwar der, bei der die Katheten multipliziert und dann durch 2 geteilt werden. Bisher dachte ich immer, das gilt eigentlich bei allen Dreiecken, was aber wohl nicht der Fall ist. Mein Problem ist jetzt, das ich einfach nicht verstehen kann warum. Daher fände ich es Prima, wenn mir jemand sagen könnte wo hier mein Denkfehler liegt. Und zwar stelle ich mir das so vor:
Wenn 2 Strecken miteinander Multipliziert werden, könnte man sich ja bildlich vorstellen, wie von beiden eine Ecke an einander gelegt wird. Jetzt zieht man die eine Strecke praktisch an der anderen entlang, ohne den Winkel zueinander zu verändern. Die Fläche auf der diese Strecke jetzt entlanggezogen wurde, entspricht dem Ergebniss. Wenn man das nun aber mit den Katheten eines Dreiecks macht, kommt bei mir zumindest geometrisch exakt die Fläche von 2 entsprechenden Dreiecken raus, geteilt durch die Hypothenuse. Aber das Ergebniss stimmt wohl irgendwie nur bei rechtwinkligen Dreiecken. Also ich fände es echt klasse wenn mir jemand mal erklären könnte, wo ich hier einen Denkfehler gemacht hab.
MfG scarfish
ushi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum bloß im rechtwinkligen Dreieck?!
bei der flächeninhaltsformel wird folgendes genutzt:

[attach]7869[/attach]

multipliziert man die grundseite mit der höhe ergibt sich der flächeninhalt des rechtecks ringsherum. die höhe teilt das rechteck in zwei weitere rechtecke. diese werden von den dreicksseiten halbiert. also hat das dreieck den halben flächeninhalt des rechtecks und es gilt:



bei rechtwinkligen dreiecken ergibt sich, dass die höhe und die grundseite gleich der katheten sind.
scarfish Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die richtige Formel für diese Berechnungen ist mir durchaus geläufig. Mein Problem ist vielmehr, warum mein Lösungsweg nicht auch korrekt ist.
MfG scarfish
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

ok. meinst du das so?

[attach]7870[/attach]

im parallelogramm gilt aber:



und nicht

und wenn du dass dann halbierst sind wir da wo wir angefangen haben:

Michael1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"Wenn 2 Strecken miteinander Multipliziert werden, könnte man sich ja bildlich vorstellen, wie von beiden eine Ecke an einander gelegt wird. Jetzt zieht man die eine Strecke praktisch an der anderen entlang, ohne den Winkel zueinander zu verändern. Die Fläche auf der diese Strecke jetzt entlanggezogen wurde, entspricht dem Ergebniss."


Du hast bei deiner Eklärung die Formel A = a*b zugrunde gelegt. Diese Formel beschreibt aber nur den Flächeinhalt von RECHTECKEN. Rechteckige Flächen kommen in deiner Beschreibung aber nur dann zustande, wenn der Winkel zwischen den "Katheten" auch wirklich 90° groß ist.
Ist er kleiner oder größer als 90°, dann entsteht keine rechteckige Fläche - also darfst du die beiden Strecken auch nicht einfach miteinander multiplizieren, um diese Fläche zu berechnen.
scarfish Auf diesen Beitrag antworten »

@ushi ja, so wie in der Skizze mein ich das. Aber ich wusste auch nicht das man im Parallelogramm nicht A=a*b rechnen kann O.O Bei denen hatte ich die gleiche Vorstellung wie oben beschrieben. Also das man die eine Seite praktisch an der anderen entlangzieht, und diese so abgedeckte Fläche müsste dann doch das gesamte Parallelogramm abdecken. Ich verstehe leider nicht, warum das nicht der Fall ist.

@Michael gerade das wollte ich ja erklären, warum ich eigentlich dachte und immernoch denke, das diese Formel auch bei den anderen gelten müsste.
MfG
 
 
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

dass gilt:



zeigt die skizze ja schon. du kannst das dreick was dazugerechnet wurde auf der anderen seite wieder abziehen.

jetzt kannst du dir den sonderfall rechteck hinbiegen und du kommst auf:



denn die seite b entspricht der höhe.
scarfish Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist ja aber, warum gilt nicht A=a*b allgemein im Parallelogramm? Warum gilt das nur bei Rechtecken? Welchen geometrischen Unterschied macht es denn, ob die benachbarten seiten im 90° winkel zueinander stehen oder nicht?
MfG scarfish
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Annahme: Die Fläche eines beliebigen Dreiecks ist gleich dem halben Produkt zweier benachbarter Seiten.

Dann folgt daraus sofort

,

und daraus dann . Gratuliere, mit deiner Annahme konnte soeben bewiesen werden, dass jedes Dreieck gleichseitig ist... Big Laugh
scarfish Auf diesen Beitrag antworten »

das was ich suche ist ja auch mein Fehler auf geometrischer Ebene. Gerne auch warum beim Parallelogramm nicht gilt A=a*b Wenn man die Seiten a und b aneinander anlegt, und seite a dann an Seite b "entlangzieht" also so ähnlich wie bei einer Parallelverschiebung, müsste der Bereich, über den Seite a jetzt "gezogen" wurde, den gesamten Flächeninhalt ausmachen. Warum funktioniert dieses, Seiten an einander anlegen nicht bei Seiten die nicht im rechten Winkel zu einander stehen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da du bisher alle mathematischen Argumente ignoriert hast, müssen wir jetzt in den Sandkasten der Flächenbetrachtungen zurück: Kästchen zählen.

Dazu schauen wir folgendes Bildchen an:

[attach]7871[/attach]

Links ist ein Rechteck (gelb) mit den Seitenlängen 5 und 7 zu sehen, Flächeninhalt ist 5*7 = 35.

Rechts ist ein Parallelogramm (blau) mit denselben Seitenlängen zu sehen. Nehmen wir mal gemäß deiner Aussage an, das hat auch den Flächeninhalt 35. Jetzt sehen wir aber an der Skizze, dass dieses Parallelogramm vollständig in einem Rechteck (rot) mit den Seitenlängen 11 und 3 enthalten ist. Das umfassende Rechteck hat also mit 11*3=33 einen kleineren Flächeninhalt als das Parallelogramm??? Widerspricht irgendwie dem Flächenbegriff, nicht wahr? Augenzwinkern
scarfish Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die mathematischen Betrachtungen ja nicht abgelehnt, ich sehe ja ein das das nicht stimmen kann. Ich hab mich einfach nur gefragt, wo dann aber der Fehler in meiner Geometrischen Betrachtung liegt. Deine Erklärung und Skizze hat mich da schonmal ein Stück weiter gebracht. Also vielen dank an euch, dafür.
MfG scarfish
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