Weiteres Beispiel zur Vollständigen Induktion

21.09.2005, 09:42

brunsi

Weiteres Beispiel zur Vollständigen Induktion

Kann mir irgendwie nicht erklären, wie die drauf gekommen sind.

Binominalkoeffizient: Sei a eine reelle Zahl und $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Es wird $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ k\end{pmatrix} =\frac{a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq1 \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Nun soll folgender Satz bewiesen werden:

Für reelle Zahlen a und k $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ k+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun der Beweis: Für k=0 ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage erst einmal hierzu: kann ich die Klammer auf der rechten Seite noch vereinfachen bzw. umschreiben?

21.09.2005, 10:21

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Auch wenn ich dir damit die Threadüberschrift versaue - ich würde das ohne Induktion beweisen:

Schau dir die Quotientendarstellung des Binomialkoeffizienten an, dann siehst du z.B. die Rekursionen $\begin{eqnarray*} {a \choose k} = {a \choose k+1}\cdot\frac{k+1}{a-k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {a+1 \choose k+1}={a \choose k+1}\cdot\frac{a+1}{a-k} \end{eqnarray*}$ .

21.09.2005, 10:41

riwe

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RE: Weiteres Beispiel zur Vollständigen Induktion

Zitat:

Original von brunsi
Kann mir irgendwie nicht erklären, wie die drauf gekommen sind.

Nun soll folgender Satz bewiesen werden:

Für reelle Zahlen a und k $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ k+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage erst einmal hierzu: kann ich die Klammer auf der rechten Seite noch vereinfachen bzw. umschreiben?

zu deiner frage 2: ich denke nein.
zum beweis: da brauchst du keine VI, einfach den linken ausdruck auf gemeinsamen nenner bringen, "ein bisserl anders zusammenfassen", fertig

werner

21.09.2005, 14:46

Mathespezialschüler

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Verschoben

21.09.2005, 18:34

brunsi

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So dann habe ich noch eine Frage: Wie komme ich auf den Ausdruck (a-k) im Zähler des zweiten Bruches?? verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} k\geq1 \end{eqnarray*}$ ist der ausdruck der linken Seite (ausgehend von obiger Gleichung):

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot(a-1)(a-2)\cdot(a-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot k} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{a(a-1)(a-2)(a-k)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot (k+1)} \end{eqnarray*}$

21.09.2005, 19:33

Mathespezialschüler

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Das stimmt nicht. Du musst schon Pünktchen setzen:

$\begin{eqnarray*} {a\choose k}+{a\choose k+1}=\frac{a\cdot (a-1)\cdot\ldots\cdot (a-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot k}+\frac{a\cdot (a-1)\cdot\ldots\cdot (a-k)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot (k+1)} \end{eqnarray*}$

Auf das $\begin{eqnarray*} a-k \end{eqnarray*}$ im zweiten Bruch kommst du, indem du einfach in die Definition des Binomialkoeffzienten einsetzt (Fakultät kennst du ja sicherlich. Die benutze ich mal zur Abkürzung!):

$\begin{eqnarray*} {a\choose k+1}=\frac{a\cdot (a-1)\cdot\ldots\cdot (a-(k+1)+1)}{(k+1)!}=\frac{a\cdot (a-1)\cdot\ldots\cdot (a-k)}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

21.09.2005, 19:48

riwe

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$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!} \end{eqnarray*}$
oder so
werner

21.09.2005, 19:53

brunsi

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ich muss mich jetzt mal eben schämen, denn ich kenne die fakultät nicht. hatten wir niemals gehabt. traurig

21.09.2005, 19:59

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@werner

Vorsicht! $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist beliebig reell, da kannst du an der Stelle nicht mit Fakultäten hantieren. Vielleicht hast du gerade deswegen lieber $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geschrieben. Augenzwinkern

21.09.2005, 20:16

Mathespezialschüler

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@brunsi
Du kannst es auch ohne Fakultäten machen, aber es ist auch ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} k!:=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot k \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

21.09.2005, 20:17

riwe

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ja ich schäme mich (auch), meinte wirklich n (der titel: weiteres beispiel zur vollständigen induktion war dann wohl zu verlockend)
werner

21.09.2005, 20:20

brunsi

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gut vielen dank an Euch. wüsste wirklich nciht, wie ich mir den stoff, den ich nciht verstehe aneignen sollte, wenn ich euch nicht hätte. smile

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