Dichte, Verteilung, Wahrscheinlichkeit

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte, Verteilung, Wahrscheinlichkeit
Schönen Tag,

ich habe eine Frage aus einem Prüfungsprotokoll:

Wie kommt man von der Dichte auf die Wahrscheinlichkeit??

Meine Antwort wäre: Man muss zunächst unterscheiden, ob es sich um eine Zähldichte oder Wahrscheinlichkeitsdichte handelt und dann gilt:
oder im kontinuierlichen Fall:


wobei f die Dichte ist.


Allgemein habe ich immer noch ein bisschen Probleme die Begriffe Dichte, Verteilung, Verteilungsfunktion klar auseinanderzuhalten. Eine Dichte ist doch einfach eine Funktion, welche die Eigenschaften einer Dichte eben erfüllt, Summe =1 und alle Werte zwischen 0 und 1. Aber was ist genau die Verteilung?
Z.B. gibt es doch einmal die Binomialzähldichte:
aber gleichzeitig wird das doch auch als Binomialverteilung bezeichnet, deshalb verstehe ich das nicht so ganz. Kann jemand Licht ins Dunkle bringen?
Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da wird begrifflich schon ziemlich geschludert. Ohne Maßtheorie-Unterbau (wovon man in der Schule bzw. der Nicht-Mathematiker-Hochschulausbildung ausgehen kann) ist das leider auch immer sehr schlecht zu erklären.

Ich kenne deinen Hintergrund nicht, deswegen jetzt mal forsch die saubere Maßtheorie-Variante:

Unter "Verteilung" einer reellen Zufallsgröße versteht man da schlicht das Verteilungsmaß , definiert auf der Borel-Sigmaalgebra des gemäß

für alle .

Da diese Verteilungsmaß vollständig durch die halboffenen Intervall beschrieben werden kann, bezeichnet man öfter auch die Verteilungsfunktion , definiert über

,

als "Verteilung". Und so geht das weiter: Alle Begriffe (stetige Dichte/Zähldichte usw.), die das Verteilungsmaß eindeutig kennzeichnen, werden alle in denselben Begriffstopf "Verteilung" geworfen. Dem Fachmann ist das klar, aber für den Anfänger mag das schon verwirrend sein. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Fletcher
Eine Dichte ist doch einfach eine Funktion, welche die Eigenschaften einer Dichte eben erfüllt, Summe =1 und alle Werte zwischen 0 und 1.

Das mag auf die Zähldichte zutreffen - für die Dichte einer stetigen Verteilung stimmt beides nicht: Da kann man gar nicht alle summieren, da überabzählbare Summen nicht erklärt sind. Und da kann es durchaus Dichtewerte größer als 1 geben.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur, das bringt schon mal etwas Licht ins Dunkle Augenzwinkern Deine Erklärungen habe ich soweit verstanden, das sind auch mehr oder weniger die Definitionen, dennoch kommt es häufig vor das im Skript oder auch bei Übungsaufgaben für die gleiche Sache verschiedene Begriffe verwendet werden.

Kannst du mir noch kurz sagen, ob ich die Antwort auf diese Prüfungsfrage richtig gegeben habe!?


Im Falle der Binomalverteilung ist also die Binomialzähldichte schon das gleiche.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das:

Zitat:
Original von Fletcher
Wie kommt man von der Dichte auf die Wahrscheinlichkeit??

Meine Antwort wäre: Man muss zunächst unterscheiden, ob es sich um eine Zähldichte oder Wahrscheinlichkeitsdichte handelt und dann gilt:
oder im kontinuierlichen Fall:


wobei f die Dichte ist.

Ja, ist Ok so.
sasu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

gibt es wirklich Dichtewerte größer als 1 bei stetigen Verteilungen? Kann mir jemand erklären, wie das zustande kommt?
Ich habe nämlich seit einiger Zeit ein Problem: Ich habe für eine Seminararbeit Dichteschätzungen mit einem Statistikprogramm geschätzt und dabei glockenförmige Grafiken erhalten, deren Hochpunkt oberhalb einer Dichte von 1 liegt. Bisher konnte ich mir das nicht erklären, weil die Fläche unter der Kurve ja immer gleich 1 sein muss. Womöglich könnten aber Dichtewerte größer 1 die Erklärung dafür sein? Hat vielleicht jemand einen Literaturhinweis, wo das erklärt wird?

Würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Danke schön und frohe Ostern!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sasu
Hat vielleicht jemand einen Literaturhinweis, wo das erklärt wird?

Wozu das denn? Ein Beispiel wie die stetige Gleichverteilung auf mit Dichte



genügt doch vollkommen um zu sehen, dass das möglich ist. Augenzwinkern
 
 
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