Tschebyscheffsche Ungleichung

29.03.2008, 11:48

Tomatonno

Tschebyscheffsche Ungleichung

Hallo!

Habe eine Frage zu einer Aufgabe mit der Tschebyscheffschen Ungleichung. Also die Aufgabe:

An einem Fahrkartenautomaten kann entweder mit Bargeld oder mit Karte bezahlt werden. Es werden dabei durchschnittlich doppelt so viele Fahrkarten mit Bargeld wie Karte bezahlt.

So, das ganze ist doch erstmal weil Bernoulli Schema (also nur 0 oder 1 bzw. nur Bargeld oder Karte) binomial verteilt richtig?

Und p = 2/3 (für Bargeld) und p = 1/3 (für Kartenzahlung)

Soweit so gut. Nun die Frage.

An dem Automaten werden täglich insgesamt 600 Fahrkarten verkauft. Ermitteln Sie mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung eine untere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als 385 und weniger als 415 Fahrkarten mit Bargeld bezahlt werden.

So, die Ungleichung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} P(\mid X-EX \mid < c)\geq 1-\frac{D^2X}{c^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mir nicht ganz klar was ich machen soll. Also Erwartungswert und Varianz könnte ich bestimmen (n=600 und p=2/3)

Und ist dann c=415 (also die "obere Grenze") wenn man so will und X die untere? Und dann, was tun?

29.03.2008, 12:47

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Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl der mit Bargeld gekauften Fahrkarten sein soll, dann sollst du hier $\begin{eqnarray*} P(385 < X < 415) \end{eqnarray*}$ abschätzen. Nun ist $\begin{eqnarray*} E(X)=400 \end{eqnarray*}$ , d.h. es geht um

$\begin{eqnarray*} P(E(X)-15 < X < E(X)+15) = P(-15 < X-E(X) < 15) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt solltest du die Wahl deines $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nochmal überdenken.

30.03.2008, 18:30

Tomatonno

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Mhh, ist c dann quasi die maximale zulässige Abweichung vom Erwartungswert. Und wenn ich die Wahrschnlichkeit nach "unten" abschätzen soll wie hier verlangt demzufolge c=-15 ?

30.03.2008, 19:00

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$\begin{eqnarray*} P(|X-EX| < -15) = 0 \end{eqnarray*}$ , da muss man nix nachrechnen, da der Betrag ja nicht negativ und damit erst recht nicht kleiner als -15 werden kann ...

Nur: Was hat diese Wkt mit der Aufgabe zu tun? Nichts.

30.03.2008, 19:11

Tomatonno

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Also geht es um folgende Wk. ?
$\begin{eqnarray*} P(|X-EX| < 15) \end{eqnarray*}$

Und EX eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} P(|X-400| < 15) \end{eqnarray*}$

??? Wenn ja, diese Wahrscheinlichkeit berechnet man zunächst eine Fallunterscheidung macht? Sprich man hat am Ende zwei Wahrscheinlichkeiten die man kombiniert?

30.03.2008, 19:15

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Zitat:

Original von Tomatonno
Wenn ja, diese Wahrscheinlichkeit berechnet man zunächst eine Fallunterscheidung macht?

Bitte nicht solche Sätze - ich hab so schon Mühe, deiner Logik zu folgen. Augenzwinkern

Die Tschebyscheffsche Ungleichung beinhaltet von Haus aus die Abweichungen nach beiden Seiten, da sind also schon beide Fälle drin. Mal ganz ohne Stochastik: Die folgenden beiden Ungleichungen sind äquivalent

$\begin{eqnarray*} |x-a| < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a-b < x < a+b \end{eqnarray*}$ ,

elementare Algebra mit dem Betragsoperator...

30.03.2008, 19:25

Tomatonno

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RE: Tschebyscheffsche Ungleichung
Mir ist grad was in den Sinn gekommen, ich versuche es noch einmal (Mit extra viel LaTex Big Laugh

)

$\begin{eqnarray*} P(\mid X-EX \mid < c)\geq 1-\frac{D^2X}{c^2} \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt c=15 ist (ist das denn richtig?) dann sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} P(\mid X-EX \mid < 15)\geq 1-\frac{D^2X}{15^2} \end{eqnarray*}$

Und EX ist auch bekannt:

$\begin{eqnarray*} EX=400 \end{eqnarray*}$

Und die Varianz ebenfalls:

$\begin{eqnarray*} D^2Y=133\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Dann kann sogar ich als Ingenieur und nicht Mathematiker Big Laugh

die Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

Also $\begin{eqnarray*} P(\mid X-400 \mid < 15)\geq 1-\frac{133\frac{1}{3}}{15^2} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

30.03.2008, 19:28

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Ja.

Im Vergleich zum tatsächlichen Wkt-Wert kann man diese mit Tschebyscheff ermittelte untere Schranke aber nur als desaströs grob bezeichnen. Augenzwinkern

30.03.2008, 23:02

Tomatonno

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Das macht mir überhaupt nix Augenzwinkern

Also besten Dank für deine Hilfe Freude

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