Dreieckkonstruktion

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Elia Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieckkonstruktion
Hallo!

Ich bin ein Gymnasiast in der ersten Klasse und mien Freund und ich finden
das Fach Geometrie sehr einfach. Deshalb sind wir immer sehr schnell fertig wenn
wir irgend etwas zum lösen kriegen. Letztens mussten wir Lösungswege für Dreieckskonstruktionen
finden. z.B. gegeben: hc: 40mm
Winkel a: 45°
Seite b: 30mm

viele solcher Aufgaben mussten wir lösen.
Dann gab es aber auch eine Aufgabe die man laut unserem Mathelehrer nicht lösen konnte.

DA aber mein Freund und ich beide schon nach 20 Minuten fertig waren, und wir eigentlich 2 Stunden dafür zeit gehabt hätten, haben wir uns spasshalber an diese
"nicht lösbare" aufgabe gesetzt. Wir sind sehr weit gekommen und der Meinung man kann das ganze lösen. Vllt. mit Thaleskreis oder so. Ich befürchte dass wir das nicht alleine hinkriegen. Deshalb hier mal die Aufgabe:

Es geht darum ein Dreieck zu "Konstruieren".
Gegeben ist nur Winkel und die Höhe c.
Wie konstruiert man sowas?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich das sehe ist das nicht eindeutig. Fang doch mal mit der Höhe c an. Diese steht senkrecht auf die Seite c die dem Winkel gegenüberliegt.
Elia Auf diesen Beitrag antworten »

Ou sorry! Hab ich vergessen die Seite c ist auch gegeben.
Also eine Aufgabe wäre zum Beispiel:

Winkel : 35°
Seite c: 30mm
Höhe c: 50mm


Die Frage ist, wie ich daraus ein ganzes Dreieck konstruieren kann.
Arbmosal Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir ganz einfach darstellen, dass es nicht eindeutig ist.

Zeichne eine Gerade AB mit der Länge 5cm und im Abstand von 3cm eine Parallel.
Dann nimmst du dein Geodreieck und legst eine der Spitzen an die parallele so an, dass sowohl A als auch B auf den Seiten des Geodreiecks liegen. Dir wird auffallen, dass es unendlich viele möglichkeiten gibt das Geodreieck anzulegen.
Und selbstverständlich ist es egal ob der Winkel nun 90° 45° oder 35° ist.

Mir haben solche Veranschaulichungen als ich in dem Alter war immer mehr geholfen als mathematische Beweise.

MfG
Arbmosal
Elia Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es konstruieren!

Ich weiss dass es undendliche Möglichkeiten gibt das ist ja das Problem!
Mann kann es irgendwie mit dem Thaleskreis und Perpherie oder so konstruieren.
Arbmosal Auf diesen Beitrag antworten »

Achso^^

Konstruieren kannst du es sogar sehr einfach, aber vermutlich wird bei jedem was anderes Rauskommen^^

Du kannst einfach die Seite c einzeichnen und und ne Parallele im Abstand von 3cm
damit haste sofort beliebig viele lösungen da der Punkt c auf diser Parallelen liegen muss.
Ich verstehe nich was genau das Problem ist

MfG
Arbmosal
 
 
Elia Auf diesen Beitrag antworten »

konstruier doch mal die oben stehende Aufgabe und versuche zu einem Dreieck zu kommen!
Arbmosal Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sehe ich meinen Fehler^^
Ich dachte ihr solltet zeigen, dass es mit diesen 3 Angaben mehr als ein Dreieck gibt. Entschuldigung^^

Um ein solches Dreieck zu konstruieren brauchst du den Kreiswinkelsatz. Der besagt der Umfangwinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.

Ich will dir hier jetzt keine Konstruktionsanleitung geben. Aber du wirst bestimmt selbst auch darauf kommen.
Alles was du anwenden musst ist:
Der Punkt C liegt auf einer Parallelen zu AB.
Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel.

MfG
Arbmosal

edit: Rechtschreibung -.-
Elia Auf diesen Beitrag antworten »

sorry daraus werd ich immer noch nich ganz schlau.. verwirrt


was ist gemeint mit Mittelpunktswinkel und umfangswinkel? ich hab keine Dreiecksschenkel gegeben und wie ich das kenne kann man den Kreiswinkelsatz irgendwie nur damit machen! oder so ähnlich..Versteh ich da was falsch?
Elia Auf diesen Beitrag antworten »

HA


Danke habs geschafft!
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Na also Augenzwinkern

Mit der zusätzlichen Seite geht es auch. Über diesen perversen Kreiswinkelsatz. Hui 5. 6. Klasse das waren schöne Zeiten Augenzwinkern
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieckkonstruktion
Schau dir die Zeichnung an, die Hoehe Hc ist leider zu gross, daher gibt es keine Loesung.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Im besten Fall (gleichschenkliges Dreieck) kommt man zu einem Abstand d von:



Aber das ist ja dann keine Aufgabe die nicht unlösbar aufgrund unendlich vieler Lösungen ist (wie wenn eine Eingabe fehlen würde), sondern eine, die keine Lösung besitzt. Sehr komisch...
Arbmosal Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm im Anfangspost steht ja, dass der Lehrer davon ausgeht, dass es nicht lösbaer. Ich hab aber nicht bedacht, dass die Seite c nur 30mm lang ist. Da hab ich etwas zu kurz gedacht, bei meiner Annahme sie sei nur nicht EINDEUTIG lösbar.

MfG
Arbmosal
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

als einfaches gemüt: es geht und es gibt (wie üblich) 2 lösungen unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Moderatoren

Mir ist gerade aufgefallen, dass der Übersichtsthread

[Tabelle] Dreieckskonstruktionen mit Zirkel und Lineal

"entwichtigt" wurde bzw. überhaupt sehr schwer aufzufinden ist (oder übersehe ich da was?). Irgendwie schade, denn im zugehörigen Fragethread werden ja so gut wie alle Dreieckskonstruktionen besprochen, die auf je 3 Seiten/Winkeln/Seitenhalbierenden/Winkelhalbierenden/Höhen beruhen. Das könnte Elia und ihren Freund ja interessieren, um die "Geometrie-Langeweile" zu bekämpfen... Augenzwinkern
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe. Bei dir sind es 30° für , gegeben sind aber 35°!

Laut Tabelle ist das (Nummer 30) lösbar. Das ist doch so ähnlich wie als würde ich sagen:

Gegeben: also ist das Dreieck nach dem SSS-Satz konstruierbar...
Nach irgend nem wichtigen Dreieckssatz, ist es aber nichtmal ein Dreieck, wegen .

Und wenn die Angaben so stimmen, haben wir hier solch einen vergleichbaren Fall...

Hab mir grade nochma das alte Euklid aka Dynageo geladen wie in alten Zeiten Augenzwinkern

Komme auf das gleiche Problem, dass der (HAAA! Ich bin wieder auf den Namen gekommen!) Fasskreisbogen für 35° die Parallele mit dem Abstand 5cm nicht schneidet.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

habe mich verlesen, mit 35° ,3 und 5 geht dieses (un)dreieck nicht,
das ändert nichts an der prinzipiellen lösbarkeit unglücklich
Pieter Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

@Werner,

...um 2:16 geantwortet... schläfst Du auch irgend wannverwirrt

Mit Gruß
Pieter
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wir schlafen nicht. Wir haben nur gelegentlich Phasen der Mathematikabstinenz.

Aber nochmal nachgehakt: Es stimmt, dass ein Dreieck mit prinzipiell konstruierbar ist. Aber welche Aussage ist über diese Gegebenheit (eben mit jener zu großen Höhe) richtig?
Es ist nicht konstruierbar.
Es ist konstruierbar.
Oder müsste man hier garkeine Aussage treffen, da es sich um einen Fehler in der Aufgabenstellung handelt?
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

"Fehler in der Aufgabenstellung" gibt es hier prinzipiell nicht - entweder ein Dreieck ist konstruierbar oder eben nicht. Diese Denkweise resultiert einzig und allein aus der Tatsache, dass die meisten Aufgaben in der Schule (leider) lösbar sind und wir dies von daher für alle Aufgaben erwarten.

Zu der vorliegenden Aufgabe: Der Fall "Seite, Höhe auf diese Seite und der Seite gegenüberliegende Winkel gegeben" ist prinzipiell schon mal mit Vorsicht zu genießen, sobald die Höhe größer ist als die zugehörige Seite. Das bedeutet nämlich, dass der gegebene Winkel der absolut kleinsten Dreiecksseite gegenüberliegt. Für das Gesamtdreieck wiederum bedeutet das, dass das auf den Fall "Seite, Seite, Winkel der der kleineren Seite gegenüberliegt" führen kann - der ja bekanntlich Probleme machen kann (genau eine Lösung, keine Lösung, zwei nicht kongruente Lösungen). Von daher ist schonmal die Aussage in der oben verlinkten Tabelle falsch - ob es eine eindeutige Lösung gibt, hängt von weiteren Bedingungen ab. [Über den Fall h(c) < c habe ich nicht nachgedacht, über den sei hiermit nichts ausgesagt.]

Geht man von einem festen c und einer festen Höhe h(c) > c aus, kann man sich [notfalls heuristisch durch Zeichnung - scheren an der Parallelen zu c im Abstand h(c)] klarmachen, dass das gleichschenklige Dreick mit a = b den größten Winkel von allen möglichen Dreiecken hat. Daraus wiederum lässt sich für diesen speziellen Fall (c = 30 mm und h(c) = 50 mm ein errechnen (wenn ich mich nicht vertan habe).

Bei festem c und festem ergibt sich, wie ja bereits gezeigt, eine maximale Höhe - fehlt jetzt noch jemand, der ein maximales c errechnet.

(Wobei diese Spielchen bei weitem die Möglichkeiten des Strangeröffners übersteigen dürften.)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheWitch
Von daher ist schonmal die Aussage in der oben verlinkten Tabelle falsch

Du hast die Tabelle nicht verstanden: Die sagt nur aus, dass eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal möglich ist, sofern ein Dreieck mit diesen Angaben überhaupt existiert. Falls nicht, so kann man das aber im Verlaufe einer "versuchten" Konstruktion ebenfalls feststellen. Es mag ja Fälle geben, wo alle Parameterkombinationen mit positiven Längen sowie Winkeln größer 0 und kleiner 180 Grad zu konstruierbaren Dreiecken führen, wie z.B. bei . Bei der Mehrzahl der Fälle schlummern aber noch zusätzliche Nebenbedingungen für die Existenz eines solchen Dreiecks. Prominentester, aber eben beileibe nicht einziger Fall ist , wo natürlich die Dreiecksungleichungen erfüllt sein müssen. Im vorliegenden Fall schlummern eben auch noch solche Nebenbedingungen, über die die Tabelle eben keine Auskünfte gibt.

Über die Eindeutigkeit macht die Tabelle nur insofern Angaben, dass es bei den mit blau gekennzeichneten Fällen höchstens endlich viele - sämtlich konstruierbare Lösungen gibt.

Zitat:
Original von TheWitch
fehlt jetzt noch jemand, der ein maximales c errechnet.

Aber gern, und ganz ohne Heuristik sowie weniger wortreich:

Das Dreieck ist genau dann konstruierbar, falls



gilt. Gleichheit tritt beim gleichschenkligen Fall auf; bei > gibt es zwei Lösungen, die aber spiegelsymmetrisch sind.
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