Vektorrechnung

29.03.2008, 15:37

4ever

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Vektorrechnung

Ich habe am Mittwoch 2stündige Schularbeit und eine Frage zur Vektorrechnung:

Das Parallelogramm ABCD mit A(3/1/4), B(6/4/7), C(5/3/10) ist die Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Höhe h=10xdie Wurzel aus2.
Berechne die Koordinaten der Pyramidenspitze.

2 Lösungen sind richtig: S1(14/-8/7) und S2(-6/12/7).

Bitte helf mir smile

smile

Liebe Grüße, Patrizia

29.03.2008, 15:45

ushi

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RE: Vektorrechnung

Zitat:

Original von 4ever

Bitte helf mir smile

smile

wobei? du hast ja nichtmal eine frage gestellt.

29.03.2008, 15:55

4ever

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RE: Vektorrechnung
Wie kommt man auf die Lösungen?
(Ich dachte, das wäre logisch ^^*)

29.03.2008, 16:13

ushi

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RE: Vektorrechnung
was hast du dir denn schon selbst überlegt?

Prinzip "Mathe online verstehen!" (das sollte logisch sein)

29.03.2008, 16:26

4ever

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RE: Vektorrechnung
Das einzige was ich ausgerechnet hab ist D(2/0/7) sowie das Kreuzprodukt vom Vektor a und b =(12/-12/0).
Hab 2 A4-Seiten vollgeschrieben mit Lösungsversuchen aber die sind alle komplett falsch, deswegen kann ich auch keine Lösungsansätze schreiben....

29.03.2008, 16:37

ushi

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RE: Vektorrechnung
der Normalenvektor stimmt schonmal.

jetzt bestimmst du den mittelpunkt des parallelogramms und erstellst eine geradengleichung für eine gerade die senkrecht auf der ebene steht (normalenvektor) und durch den mittelpunkt geht.

danach suchst du die punkte, die auf der geraden liegen und vom mittelpunkt den gegebenen abstand (höhe) haben.

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29.03.2008, 16:50

4ever

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RE: Vektorrechnung

Zitat:

Original von ushi
der Normalenvektor stimmt schonmal.

jetzt bestimmst du den mittelpunkt des parallelogramms und erstellst eine geradengleichung für eine gerade die senkrecht auf der ebene steht (normalenvektor) und durch den mittelpunkt geht.

Also ich kann dir nur folgendes anbieten:
M=0,5(B+D)
M=(2/2/0)
MC=(3/1/10)

Normalvektoren erstellt man doch, indem man eine Koordinate 0 setzt, nicht wahr? Ich hab y 0 gesetzt und hätte dann als Normalvektor (-10/0/3)..

Zitat:

Original von ushi
danach suchst du die punkte, die auf der geraden liegen und vom mittelpunkt den gegebenen abstand (höhe) haben.

Und das mach ich wie?

29.03.2008, 17:06

ushi

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RE: Vektorrechnung
also pass auf. hier eine skizze:

[attach]7881[/attach]

ich hab aus versehen C und D vertauscht. tu einfach so als wäre es anders. Augenzwinkern

Augenzwinkern

du hast das parallelogramm ABCD. im parallelogramm halbieren sich die diagonalen gegenseitig im mittelpunkt des vierecks. die koordinaten von M bestimmst du mit:

$\begin{eqnarray*} x_M=\frac {x_A+x_C}2 \end{eqnarray*}$

und so weiter...

dann stellst du eine geradengleichung auf, für eine gerade die senkrecht zur ebene (parallelogramm) steht und durch M geht. dazu brauchst du den normalenvektor. den hast du mittels kreuzprodukt schon bestimmt. geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \\ z_M \end{pmatrix}+s\cdot \vec n\qquad (s\in R) \end{eqnarray*}$

29.03.2008, 17:15

4ever

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RE: Vektorrechnung
Also ich hab nun als Mittelpunkt (4/2/7)

Zitat:

Original von ushi
$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \\ z_M \end{pmatrix}+s\cdot \vec n\qquad (s\in R) \end{eqnarray*}$

Darf ich fragen, was das erste Zeichen bedeutet?

Hätte jetzt als Gleichung

g=(4/2/7)+s mal (12/-12/0)

Und jetzt?
Sorry ich blick nicht durch..

29.03.2008, 17:24

ushi

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RE: Vektorrechnung
das erste is der vektor x. eigentlich schreibt man geradengleichungen so. spielt jetzt aber keine große rolle. du hast jetz eine gerade g. auf dieser liegen die punkte M und S. der punkt S hat von M den abstand

$\begin{eqnarray*} h=10\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

du musst jetzt das skalar s so hinbiegen, dass der betrag des entstehenden vektors gleich der höhe entspricht:

$\begin{eqnarray*} \left| s\cdot \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} \right| =h=10\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

weißt du wie man den betrag eines vektors berechnet?

29.03.2008, 17:32

4ever

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RE: Vektorrechnung
Ja, indem man die Wurzel von 12²+12² rechnet, ergibt 16,97.

Und wie kommt man nun auf S?

29.03.2008, 17:36

ushi

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RE: Vektorrechnung
du musst vor den normalen vektor mit s multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} s\cdot \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12s \\ -12s \\ 0s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du denn betrag bilden und s bestimmen.

29.03.2008, 17:43

4ever

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RE: Vektorrechnung
?

Dann wär das doch das gleiche, nur eben mit s, also
die Wurzel aus s mal 12² + s mal 12² = 16,97s?!

Ich glaub das ist zu hoch für mich...

29.03.2008, 17:49

ushi

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RE: Vektorrechnung
ja. lass aber die wurzel stehen damit keine rundungsfehler auftreten. also haben wir:

$\begin{eqnarray*} h=10\cdot \sqrt{2}=s\cdot \sqrt{288} \end{eqnarray*}$

jetz s bestimmen.

29.03.2008, 17:53

4ever

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RE: Vektorrechnung
Aber für s krieg ich dann doch nur eine Zahl heraus und keine Koordinaten?!

Weil das wäre dann doch so:

10 mal die Wurzel aus 2 durch die Wurzel aus 288 = s

Oder bin ich völlig bescheuert?

29.03.2008, 17:56

ushi

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RE: Vektorrechnung
das ist richtig. diese zahl setzt du dann für s in deine geradengleichung ein und bestimmst die koordinaten von S.

wie groß ist denn s.

29.03.2008, 18:17

4ever

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RE: Vektorrechnung
Also S ist somit 0,833333.
Dann krieg ich nun als Schnittpunkt (14/-8/7) - yeah =)
Und wie komm ich nun auf den 2.?

29.03.2008, 18:27

ushi

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RE: Vektorrechnung
für s rate ich dir einen genauen wert zu nutzen:

$\begin{eqnarray*} s=10\cdot \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{288}}=10\cdot \sqrt{\frac 2{288}}=10\cdot \sqrt{\frac 1{144}}=10\cdot \frac 1{12}=\frac {10}{12}=\frac 56 \end{eqnarray*}$

überleg doch mal. der zweite punkt muss mit genau dem gleichen abstand auf der anderen seite liegen. also kannst du einfach -s einsetzen.

30.03.2008, 08:38

4ever

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RE: Vektorrechnung
Viiiiiiiiiiiiiiiiielen Dank Mit Zunge

Mit Zunge

30.03.2008, 09:33

4ever

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Also.. ich nerv sicher, aber ich hab grad noch so ein Bsp probiert und i-wie funktioniert das nicht..

Die Punkte A(5/1/1), B(-1/3/9), C(-3/-1/5) sind die Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit dem Höhenfußpunkt H(1/0/3). Die Spitze liegt in der Ebene 3x+2y-z+18=0. S-Koordinaten sind gefragt.

So, nun hab ich's nach dem gleichen Rechenschema versucht, zu lösen.
Würde heißen:

H+s mal Normalvektor

Normalvektor= AC x AB durch 2 = (-12/20/-14)

S mal Betrag von (-12/20/-14) = S mal die Wurzel aus 548.

Dann hab ich den Abstand von H und der Ebene von S berechnet. Ergebnis:
1 durch die Wurzel aus 14 mal -18.

Dann hab ich auch so eine Gleichung aufgestellt:

Höhe= -18 mal 1 durch die Wurzel aus 14 = S mal die Wurzel aus 548.
Ergebnis: (-18 mal 1 durch die Wurzel aus 14) durch die Wurzel aus 548 = S

Und wenn ich das in die Gleichung einsetze:

(1/0/3) + ((-18 mal 1 durch die Wurzel aus 14) durch die Wurzel aus 548) mal (-12/20/-14) kommt nicht (13/-20/17) als Lösung heraus.

Hilfe traurig

traurig

30.03.2008, 11:18

4ever

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Hat sich erledigt Big Laugh

Big Laugh

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