[Zahlentheorie] Primzahlmodell |
| 30.03.2008, 21:23 | matze(2) | Auf diesen Beitrag antworten » |
| [Zahlentheorie] Primzahlmodell Es werden Zahlenreihen betrachtet, die aus genau denen Zahlen bestehen, die durch vorgegebene ganze Zahlen nicht teilbar sind. (Ab hier sei der Ausdruck "vorgegebene Zahlen" fest definiert und immer in diesem Zusammenhang zu verstehen, weil es so wesentlich einfacher ist.) Beispielsweise wäre die Zahlenreihe bei den vorgegebenen Zahlen 4 und 7: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 34, 37, ... . Die beiden Zahlen kgV(4, 7) ± 1, nämlich 27 und 29, gehören auch zu der Zahlenfolge. Wenn die vorgegebenen Zahlen a, b, c, d, ... sind, dann gehören kgV(a, b, c, d, ...) ± 1 auch zu der Zahlenfolge, die durch a, b, c, d, ... entsteht. Logischerweise wiederholen sich die Differenzen zwischen den benachbarten Zahlen einer solchen Folge ab dem kgV + 1. (Ich meine mit "Differenz" und "Abstand" immer das gleiche, nämlich eigentlich die positive Differenz/Abstand.) So ist bei dem Beispiel mit den vorgegebenen Zahlen 4 und 7: 30 - 29 = 1 = 2 - 1 31 - 30 = 1 = 3 - 2 33 - 31 = 2 = 5 - 3 34 - 33 = 1 = 6 - 5 37 - 34 = 3 = 9 - 6 ... Deshalb kann man bei der Sequenz von 1 bis zu dem kgV + 1 von einem sich wiederholenden Muster sprechen. (Ab hier sei "Muster" fest definiert und immer in diesem Zusammenhang zu verstehen, weil einfacher.) Da sich nicht die Zahlen selbst, sondern deren Abstände wiederholen, werden für das Muster nur die Abstände notiert. Bei 4 und 7 wäre das dann 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2. Die letzte Zahl bei einem solchen Muster ist immer 2. Wenn man zu vorgegebenen Zahlen das Muster hat und noch eine Zahl zu den vorgegebenen hinzufügen will, kann man ein bestimmtes Verfahren anwenden: Man schreibt das alte Muster - mal hin. (Damit geht das Muster wie erwünscht von 1 bis zu kgV(alte Zahlen und neue Zahl) + 1.) Jetzt müssen noch die Vielfache der neuen Zahl aus der Zahlenreihe und damit auch aus dem Muster ausgeschlossen werden. Und zwar nur die Vielfache, die nicht durch eine der alten Zahlen teilbar sind, weil diese Zahlen schon vorher wegen diesen alten Zahlen aus der Zahlenreihe entfielen. Alle Zahlen, die nicht durch die alten Zahlen teilbar sind, können am alten Muster abgelesen werden. Diese Zahlen müssen mit der neuen Zahl multipliziert werden und an der entsprechenden Stelle müssen dann zwei Zahlen des Musters zu einer addiert werden. Sind alle alten und die neue Zahl teilerfremd, hat nur die 2 als letzte Zahl des alten Musters keine Auswirkungen mehr. Andernfalls ist man schon früher fertig, mann muss nicht über das kgV der alten und der neuen Zahl + 1 hinaus gehen. Beispiel zu dem Verfahren: Die alten vorgegebenen Zahlen seien 7. (Eigentlich müsste "alten vorgegebenen Zahlen" grammatikalisch gesehen im Singular stehen.) Das Muster dazu ist 1, 1, 1, 1, 1, 2. (Allgemein ist das Muster für n [attach]7884[/attach].) Zu der 7 soll 4 hinzugefügt werden. = 28 / 7 = 4 Also wird das Muster 4-mal aufgeschrieben: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2 Alle Muster, also auch das für 7, gehen von 1 - und nicht von 0 - los. Das erste Vielfache ist also immer 1. 1 * 4 = 4, also muss man 4 abzählen. Auch hier muss beachtet werden, dass die erste 1 in dem Muster nicht den Abstand 1 - 0 = 1 sondern 2 - 1 = 1 meint. Man zählt von Komma zu Komma, da die Zahlen für Differenzen/Abstände stehen. Man landet bei: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2 Die erste Zahl des Musters für 7, nämlich 1, 1, 1, 1, 1, 2, ist 1. Zu der aktuellen roten Position kann also noch 1 * 4 = 4 drauf gezählt werden: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2 Die 2. Zahl des 7-Musters ist 1, also kann 4 weitergezählt werden, dann schaut man sich die 3. Zahl an usw. Man erhält: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2 Bei jedem roten Komma müssen nun noch jeweils die Zahlen links und rechts vom Komma zusammenaddiert werden: 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2 Zu diesem Muster, das aus den vorgegebenen Zahlen 4 und 7 resultiert, könnten weitere vorgegebene Zahlen hinzugefügt werden. Die Anzahl an Zahlen eines Muster nimmt beim Hinzufügen von vorgegebenen Zahlen rasch zu. Hätte man zuerst 4 als vorgegebene Zahl und würde dann 7 hinzufügen, käme man auf das identische Ergebnis. Allen Muster, die ich bisher untersuchte, hatten folgende Eigenschaft: Wenn man die letzte Zahl des Musters (immer eine 2) weglässt, ist der Rest symmetrisch. Das heißt, die ganz linke Zahl ist gleich der nun ganz rechten Zahl, die zweit-linkeste ist gleich der zweit-rechtetsten usw. Ich gehe davon aus, dass dies für alle Muster gilt, kann derzeit aber nicht begründen, warum das immer gelten muss. Die Zahlenfolgen könnte man auch in den negativen Zahlenbereich hinein fortsetzen, indem man bildlich eine Abfolge des Musters links von der normalerweise ersten Abfolge des Musters setzt. Da 2 immer die letzte Zahl eines Musters ist, ist die erste Zahl in linker Richtung immer -1. Danach geht es in genau umgekehrter Reihenfolge weiter. Da aber wie erwähnt, wenn man die 2 als letzt Zahl weglässt, das Muster symmetrisch ist, ändert es sich nicht wenn man alles rechte und alles linke entsprechend austauscht. Im Negativen ist also alles wie im positiven, außer das alle Zahlen der Zahlenfolgen ein Minus als Vorzeichen haben. Das ganze Modell mit vorgegebenen Zahlen, die zu Mustern führen, kann man auch auf Primzahlen anwenden und zum Primzahlmodell werden lassen, indem man als vorgegebene Zahlen aufsteigend die Primzahlen verwendet. , , , , , ... seien die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... , also die n-te Primzahl. Dann beträgt die Anzahl an Zahlen des Musters, das entsteht, wenn die vorgegebenen Zahlen die n ersten Primzahlen sind, . Es gibt also immer eine gerade Anzahl an Zahlen für ein Muster. Vernachlässigt man die letzte Zahl, also die 2, hat man eine ungerade Anzahl und es gibt eine mittlerste Zahl, die als Symmetrieachse. Diese ist immer 4, da ± 2 weder durch 2 noch durch einer der Primzahlen, die das kgV gebildet haben, teilbar ist. ± 1, sind beide durch 2 teilbar und durch jede Primzahl, aus der das gkV gebildet wurde. Wenn man das Muster mit den n ersten Primzahlen als vorgegebene Zahlen betrachtet sind die Abstände zwischen den Elementen der entstandenen Zahlenreihe solange Abstände zwischen Primzahlen, wie die Gesamtsumme der Abstände + 1 kleiner als das Produkt aus der (n + 1). und (n + 2). Primzahl ist. Fragen: - Welche Textstellen sind unverständlich (bei Unklarheiten ruhig nachfragen! 
), welche zu ausführlich? Hätte ich weniger/mehr Absätze machen sollen?- Natürlich würde es mich interessieren, warum jedes Muster symmetrisch ist, wenn man die 2 am Schluss außer Betracht lässt - Die ursprüngliche längerfristige "Zielrichtung" war ein Beweis der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge. Man kann leicht nachweisen, dass es mit jeder neuen Primzahl auch wieder neue 2en gibt, aber es muss ja auch noch immer wieder mal eine 2 unbeschädigt in den gültigen Primzahlbereich kommen. Aber der Verwendungszweck ist auch gar nicht festgelegt. Selbst die Mithilfe an einem noch so kleinen Brötchen wäre toll, aber sowas ist nun mal sehr sehr unwahrscheinlich, das sehe ich auch ein. |
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