Paulische Spinmatrizen

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Irrstern Auf diesen Beitrag antworten »
Paulische Spinmatrizen
Moin

ich wollte eine Aufgabe zu paulische Spinmatrizen machen. Ansich verstehe ich, was ich zu machen habe, jedoch ist ein Teil der Aufgabe nicht erklärt bzw. verstehe ich ihn nicht.

Aufgabenstellung:
Die paulischen Spinmatrizen sind definiert durch:




Zeigen Sie für k,l=1,2,3 die Beziehung , wobei



Nun weiß ich nicht, was mein Delta ist, hat jemand eine Ahnung???

Kann mir jemand sagen, wofür man sowas brauchen kann?
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne dass ich jetzt großartig gerechnet habe, könnte ich mir vorstellen, dass es sich um das Kronecker-Delta handelt, welches 1 ist, wenn die Indizes gleich sind, und welches 0 ist, wenn die Indizes ungleich sind.

Vielleicht ist das in der Aufgabenstellung gemeint?
bishop Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist definitiv das Kronecker-Delta.
Kannst du damit dann weiterrechnen, oder brauchst du noch Lösungsansätze?
Irrstern Auf diesen Beitrag antworten »

Jo das hat mir weitergeholfen - Aufgabe ist abgehakt Tanzen

Dazu gibt es aber noch eine zweite Teilaufgabe, dessen Aufgabentext ist - mal wieder traurig - nicht ganz verstehe:

Das Quadrupel bildet eine Basis der komplexen 2x2 Matrizen. Sei die Darstellung der Matrix A in dieser Basis. Zeigen Sie:

, wobei


Das das Quadrupel eine Basis der komplexen 2x2 Matrizen bildet verstehe ich noch nicht. Bei Vektorräumen ist die Basis als die maximale Anzahl voneinander linear unabhängigen Vektoren definiert. Hier benöte ich wohl eine Anzahl an Matrizen, womit ich alle anderen Matrizen darstellen kann. Wie man darauf kommt, weiß ich aber nicht und wie ich zeigen kann das die Vier es sind weiß ich auch nicht.
Die Definition von A verstehe ich auch noch nicht. was ist denn das a? Ist es ein Vektor oder eine Matrix?? Was sollen der 0-Index von a? Und warum wird am Schluss ein Skalarprodukt berechnet, wobei Sigma aufeinmal ein Vektor ist? Sigma ist doch eine Matrix verwirrt
Wie die inverse Matrix definiert ist, weiß ich, doch hilft mir das ja nicht weiter Big Laugh bei der Aufgabenstellung verstehe ich ja nur Bahnhof
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, du brauchst eine Anzahl Matrizen (4 Stück: bis ), mit denen du alle komplexen Matrizen darstellen kannst und zwar als Linearkombination:



ist also durch die vier eindeutig bestimmt; die letzten drei a's werden zu einem Vektor zusammengefasst:



Genauso bei : Das ist ebenfalls ein Spaltenvektor mit 3 Komponenten, wobei jede Komponente eine -Matrix ist. Damit ist auch klar, was bedeutet, nämlich einfach ganz formal das Skalarprodukt . Wie man auf die Sigmas kommt und zeigt, dass sie eine Basis bilden, weiß ich auch nicht so recht, das ist aber auch nicht die Aufgabe. Dass sie eine Basis bilden, darfst du als gegeben voraussetzen. Du musst nur zeigen, dass



(=Einheitsmatrix). Dazu setzt du einfach ein und benutzt natürlich das Ergebnis der ersten Teilaufgabe.

lg
cst
Irrstern Auf diesen Beitrag antworten »

ist a ein skalar oder auch eine matrix? es ist nirgends angegeben...

ich habs a als skalar aufgefasst und dann versucht mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus versucht die inverse zu berechnen. Da kam leider nur Müll raus.
Meine Einheitsmatrix sieht so aus:



Mein Ansatz war folgender:
Wie gesagt sind a_1,2,3 bei mir Skalare. Die hab ich mit meinen Sigmas mulipiziert und dann die vier Matrizen addiert.



Mein schäbbiges Ergebnis ist dann


Ist der Ansatz richtig? Und wenn ja, was hab ich falsch gemacht, bzw. wie bekomme ich mein Ergebnis in die Form, die nach Aufgabenstellung vorgegeben ist?
 
 
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

(ohne Index und Vektorpfeil) kommt gar nicht vor. bis sind Skalare, ist ein Vektor, wobei



das hatte ich aber schon geschrieben.

Bei der Linearkombination kommt wenn schon denn schon raus



Das zu invertieren führt zu hässlichen Wuseleien, wie du schon festgestellt hast. Aber das musst du ja auch nicht, schließlich ist schon gegeben. Zeige also einfach, dass (hatte ich aber auch schon geschrieben):




Wenn du die Klammern ausmultiplizierst, kürzt sich der Nenner weg und die Einheitsmatrix wie du sie angegeben hast bleibt übrig.

lg
cst
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